Topologi
homotopi, fundamentalgruppe og overdekningsrom
homotopi
funksjoner
lokal homeomorfi
homeomorfi
kontinuerlig
f:X→Y er en lokal homeomorfi hvis kontinuerlig, åpen og restriksjonen f|U:U→f(U) er en homeomorfi
\(f:X\to Y\) er en homeomorfi hvis bijektiv, kontinuerlig og åpen.
underromstopologi
En underroms topologi \(T_S\) er mengden av snittene mellom underrommet og hver åpen mengde.
åpen
\(f:X\to Y\) er åpen hvis alle åpne mengder i \(X\) avbildes til åpne mengder i \(Y\).
\(f:X\to Y\) er kontinuerlig hvis alle åpne mengder i \(Y\) er avbildet fra åpne mengder i \(X\).
kontinuerlig og åpen
\(f:X\to Y\) er kontinuerlig og åpen hvis alle åpne mengder i \(X\) avbildes til åpne mengder i \(Y\) og vice versa.
inklusjonsavbildning
Inklusjonsavbildningen \(\iota: X\to Y\) injiserer \(X\) i \(Y\), hvor \(x\in X\) forblir uendret.
\(T_S=\{\emptyset,\{b,c\},\{c\},S\}\)
topologiske egenskaper
sammenhengende
kompakt
(\(X,T_X\)) er sammenhengende hvis \(X\) ikke kan bli uttrykt som en disjunkt union av åpne mengder.
\((X,T_X)\) er kompakt hvis alle åpne overdekninger har en endelig deloverdekning.
veisammenhengende
(\(X,T_X\)) er veisammenhengende hvis det eksisterer en kontinuerlig \(f:I\to X\) mellom hver \(x_1\) og \(x_2\) i \(X\).
Hausdorrf
(\(X,T_X\)) er Hausdorrf hvis for hvert par av punkter, det er to disjunkte åpne mengder, hvor en inneholder det første, og den andre inneholder den andre.
To funksjoner \(f_0,f_1:X\to Y\) er homotope hvis det finnes en kontinuerlig funksjon \(H:X\times I\to Y\) slik at \(H(x,0)=f_0(x)\) og \(H(x,1)=f_1(x)\).
fundametalgruppe
Fundamentalgruppen av (\(X,T_X\)) er gruppen av ekvivalensklasser under homotopi av løkker i \(X\)
ingen egenskaper
\(f:X\to Y\) er ikke kontinuerlig, lukket eller åpen.
lukket
\(f:X\to Y\) er lukket hvis alle lukkede mengder i \(X\) avbildes til lukkede mengder i \(Y\).
topologiske relasjoner
kontinuitet (\(X\) og \(f(X)\))
sammenheng
Vis at \(\tilde{g}: f(X)\to\{0,1\}\) er kontinuerlig og konstant.
Vi vet at \(g=\tilde{g}\circ f\), og at \(g\) og \(f\) er kontinuerlig, derfor er \(\tilde{f}\) kontinuerlig. Vi vet også at \(g\) er konstant, da må \(\tilde{f}\) være konstant, ergo \(f(X)\) er sammenhengende.
veisammenhengende
La \(y_0,y_1\in f(X)\) hvor \(y_0=f(x_0)\) og \(y_1=f(x_1)\). \(X\) veisammenhengende \(\Leftrightarrow\) det finnes en vei \(\gamma:I\to X\) slik at \(\gamma(0)=x_0\) og \(\gamma(1)=x_1\). Da vil komposisjonen \(f\circ\gamma:I\to Y\) være kontinuerlig og tilfredstille \(f(\gamma(0))=y_0\) og \(f(\gamma(1))=y_1\).
generasjon av topologi
base
topologi
underbase / overdekning
samling av mengder hvor unionen av alle mengder er lik \(X\)
endelig snitt av alle mengdene i en underbase/overdekning
vilkårlig union av alle mengdene i en base (union over tom mengde tillatt)
base (\(U\in\mathcal{B}_X\) og \(V\in T_X\))
kontinuerlig avbildning
Inversbildet av en åpen mengde er en union av inversbildet til elementer i basen, altså en union av åpne mengder, altså åpen.
åpen avbildning
Bildet av en åpen mengde er en union av bildet til elementer i basen, altså union av åpne mengder, altså åpen.
\(\pi_1(X,x_0)=\{[f]=\{g\in C(X,Y)\mid f\simeq g\}\mid\text{f is a loop in }X\text{ looping }x_0\}\)
konstruering av topologier
kvotient
produkt
mengde
\(\mathcal{B}=\{U\times V\mid U\in T_X\text{ og } V\in T_Y\}\)
eksempler
produkt
kvotientavbildning
\(f:X\to Y\) er en kvotientavbildning hvis surjektiv og en delmengde \(V\subseteq Y\) er åpen \(\Leftrightarrow\) delmengden \(f^{-1}(V)\) er åpen.
\(q:x\mapsto[x]=\{x_0\in X\mid x_0\sim x\}\)
topologi
\(Y=X\setminus\sim\)
\(T_Y=\{U\subseteq Y\mid\{x\in X\mid[x]\in U\}\in T_X\}\)
kvotient
\(T^n=S\times \cdots \times S\) (n-torus)
\(I^n=I\times\cdots\times I\simeq B^n\) (n-kube)
\(I^2\setminus(0,y)\sim(1,1-y)\)(mobius stripe)
\(I^2\setminus(0,y)\sim(1,y)\) (vanlig stripe)
\(I^2\setminus(0,y)\sim(1,y)\text{ and }(x,0)\sim(x,1)\) (torus)
\(I^2\setminus(0,y)\sim(1,y)\text{ and }(x,0)\sim(1-x,1)\) ( kleinflaske)
produkt (\(X\times Y\))
kvotient (\(X\) og \(X\setminus\sim\))
sammenhengende
Først vis at \(F\) er konstant for \(\{a\}\times B\). Hvis vis har \(a\in A\), vi får da funksjonen \(f:B\to\{0,1\}\) definert som \(b\mapsto F(a,b)\). Vi ser at \(f\) er kontinuerlig altså konstant siden \(B\) er sammenhengende. Vis på samme måte at \(F\) er konstant for \(A\times\{b\}\). Nå viser vi at \(F\) er konstant på \(A\times B\). Fikser et par \((a,b)\in A\times B\) og et annet par \((a',b')\in A\times B\Rightarrow F(a,b)=F(a,b')=F(a',b')\Rightarrow F\) er konstant, dermed er \(X\times Y\) sammenhengende.
sammenhengende
Vis at \(\tilde{f}:X\setminus\sim\to\{0,1\}\) er kontinuerlig og konstant.
Vi vet at \(f=\tilde{f}\circ\pi\), og at \(f\) og \(\pi\) er kontinuerlig, derfor er \(\tilde{f}\) kontinuerlig. Vi vet også at \(f\) og \(\pi\) er konstant, da må \(\tilde{f}\) være konstant, ergo \(X\setminus\sim\) er sammenhengende.
\((X,T_X)\) er sammenhengende hvis alle kontinuerlige funksjoner fra \((X,T_X)\) til \(\left(\{0,1\},\mathcal{P}(\{0,1\})\right)\) er konstante
Ikke-sammenhengende eksempel
overdekningsrom
Et overdekningsrom av \(X\) er et topologisk rom \(C\) og et kontinuerlig surjektiv avbildning \(p:C\to X\) slik at for alle \(x\in X\) det eksisterer en åpen mengde \(U\ni x\), slik at \(p^{-1}(U)\) er en union av disjunkte åpne mengder i \(C\), hvor hver åpen mengde er homeomorf til U.
Rett linje homotopi: \(H(x,t)=(1-t)f_0(x)+tf_1(x)\)
Man kan forestille \(X\times Y\) som at hver \(x\) i \(X\) erstattes med en kopi av \(Y\). F.eks. en torus \(T^2=S\times S\) hvor hvert punkt på den første sirkelen erstattes med en kopi av den andre sirkelen.
nærhet
for alle \(x_0,x_1,x_2\in X\), hvis \(x_0\) er nærmere \(x_1\) enn \(x_2\), og \(y\in Y\), så vil kopien \((x_0,y)\in Y_{x_0}\) være nærmere \((x_1,y)\in Y_{x_1}\) enn \((x_2,y)\in Y_{x_2}\).
underbase (\(f:X\to Y\) og \(U\in B_Y\))
kontinuerlig avbildning
Inversbildet til en åpen mengde er en union av endelige snitt av inversbildet til elementer i underbasen, altså en union av endelig snitt av åpne mengder, altså åpen.