Please enable JavaScript.

Coggle requires JavaScript to display documents.

Sucesiones y series - Coggle Diagram

- - - - Sucesiones divergentes
        
        La sucesion {(-1) ⁿ} es divergente puesto que no existe.
        
        La sucesión {n² + n} diverge a infinito, ya que
        
        Sucesión convergente
        
        Definición de
        Sucesión convergente
        
        Se dice que una sucesión { aₙ} converge a un número real L si para todo existe un
        entero positivo N tal que:
        |aₙ - L| < ϵ siempre que n > N
        
        Si {aₙ} es una sucesión convergente, significa que los términos aₙ pueden hacerse arbitrariamente cercanos a L para n suficientemente grande.
        
        Límite de una sucesión
        
        Suponga que {aₙ} es una sucesión y ƒ es una función tal que ƒ(n) = aₙ para n ≥ 1.
        Si entonces
        
        Propiedades
        
        Límite de una sucesión
        Sean {aₙ} y {baₙ} sucesiones convergentes.
        Si y entonces
        
        ii) k un numero real
        
        i) , c es un numero real
        
        iii)
        
        iv)
        
        v)
        
        Sucesiones de la forma {rⁿ}
        
        Suponga que r es una constante distinta de cero. La sucesión {rⁿ} converge a 0 si |r| < 1 y diverge si |1| >|
        
        Sucesiones de la forma {1/n^r}
        
        La sucesión converge a 0 para r cualquier número racional positivo
        
        Sucesión de constantes
        
        Una sucesión de constantes c,c,c,c,c...
        se escribe {c}.
        El sentido común indica que esta sucesión converge y que su límite es c
        
        Sucesión definida recursivamente
        
        Una sucesión puede
        definirse especificando el primer término a₁ junto con una regla para obtener los términos subsecuentes a partir de los términos precedentes.
        En este caso se dice que la sucesión está definida recursivamente.
        
        Teorema de compresión
        
        Suponga que {aₙ}, {bₙ} y {cₙ} son sucesiones tales que
        
        para todos los valores de n mayores que algún índice N.Si {aₙ} y {bₙ} convergen a un limite común L, entonces {cₙ} tambien converge a L
        
        Sucesión de valores absolutos
        
        Si la sucesión |aₙ| converge a 0, entonces {aₙ} converge a 0
- - - - Utilizando la notación de sumatoria, se escribe:
  - - - De acuerdo con la prueba de las proporciones:
        
        concluimos que la serie del binomio (3) converge para |x| > 1, esto es, para x > 1 o x < -1.
        
        La convergencia en los puntos extremos depende del valor de r.
        
        Por lo que si |x| < 1, entonces para cualquier número real r
        
        1 more item...
- - - - Produce:
        
        Al evaluar las cuatro operaciones, podemos encontrar que:
        f(a) = c0, f'(a) = 1!c1, f''(a) = 2!c2 y f'''(a) = 3!c3
        
        Observamos que f^n (a) = n1cn
  - - - entonces los coeficientes
        deben ser ck = f ^k (a/k!).
        
        Si una función ƒ tiene una representación
        en serie de potencias centrada en a, entonces debe verse como lo siguiente:
        
        La serie en (6) se denomina serie de Taylor de ƒ en a, o centrada en a. La serie de Taylor centrada en a = 0,
  - - - Si
        
        Para toda x en el intervalo, entonces la serie de Taylor generada por ƒ converge a ƒ(x),
- - - - = -1/2 + 1/4 - 1/8 + ...
        
        Se le denomina serie geométrica. Como |r| = |−1/2| < 1, la serie converge.
      - = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...
        
        Se denomina serie armónica alternante, mientras la serie armónica diverge, la serie armónica alternante converge.
  - - - o
        
        Converge si 0 0 ≤ bn + 1 ≤ bn para todos los n ≥ 1 y limn → ∞ bn = 0. Esto se conoce como la prueba de series alternantes.
- - - - Existe la convergencia cuando el resultado de la serie se acerca a un posible valor puede ser que converge a cualquier numero aproximado.
    - - Es cuando la serie es infinita y no tenemos ningún dato ni aproximado ni exacto.
  - - - Recibe el nombre de serie de potencias en x-a. Se dice que la serie de potencias está cen-trada en a o tiene centro a.
- - - - Decreciente
        
        Si para toda n ≥ 1
      - No creciente
        
        Si para toda n ≥ 1
      - Creciente
        
        Si para toda n ≥ 1
      - No decreciente
        
        Si para toda n ≥ 1
- - - - Asociada con toda serie finita existe una sucesion de sumas parciales {sₙ} cuyos términos estan definidos por:
        
        El término general de esta sucesión se denomina la suma parcial n-ésima de la serie
  - - - i) Si |r| < 1, entonces una serie geometrica converge y su suma es:
        
        ii) Si |r| ≥ 1, entonces una serie geométrica diverge.
- - - - Si la serie infinita converge y para todo n suficientemente grande , entonces la serie también converge.
      - Si la serie infinita divergente y para todo n suficientemente grande , entonces la serie también divergente.
  - - - .
        
        Si la serie infinita converge y para todo n suficientemente grande, entonces la serie infinita también converge.
      - Si la serie infinita diverge y para todo n suficientemente grande , entonces la serie infinita también diverge
      - Si la serie infinita es absolutamente convergente y para todo n suficientemente grande , entonces la serie infinita también es absolutamente convergente.
      - Si la serie infinita no es absolutamente convergente y para todo n suficientemente grande , entonces la serie infinita tampoco es absolutamente convergente.
      - Si la integral incorrecta ,dx converge y 0 , entonces la integral impropia ,dx también converge con ,dx.
      - Si la integral incorrecta ,dx diverge y , entonces la integral impropia ,dx también divergente
  - - - Para un entero N y una función continua f (x) que se define como monótona y decreciente en el intervalo [N, ∞)
        
        Si la integral impropia es finita.
        
        Serie infinita