Sucesiones y series
Sucesiones
Serie del binomio
Serie de Taylor
Para una función f
Los dos casos de la expansión Binomial son:
Serie alternante
Definicion
Series de Potencia
Forma de una
serie de potencias
Convergencia
La diferenciación de
f(x) = c0 + c1(x – a) + c2(x – a)^2 + c3(x – a)^3 + ... + cn(x – a)^n + ...
Produce:
Es una serie cuyos términos alternan entre valores positivos y negativos es una serie alternante.
Por ejemplo:
Al evaluar las cuatro operaciones, podemos encontrar que:
f(a) = c0, f'(a) = 1!c1, f''(a) = 2!c2 y f'''(a) = 3!c3
Observamos que f^n (a) = n1cn
Si una función ƒ posee una
representación en serie de
potencias sobre un intervalo
(a - R, a + R),
entonces los coeficientes
deben ser ck = f ^k (a/k!).
= -1/2 + 1/4 - 1/8 + ...
= 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...
Si una función ƒ tiene una representación
en serie de potencias centrada en a, entonces debe verse como lo siguiente:
Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos.
Términos de una
sucesión
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Sucesiones divergentes
La sucesion {(-1) ⁿ} es divergente puesto que no existe.
La sucesión {n² + n} diverge a infinito, ya que
Sucesión convergente
Definición de
Sucesión convergente
Se dice que una sucesión { aₙ} converge a un número real L si para todo existe un
entero positivo N tal que:
|aₙ - L| < ϵ siempre que n > N
Si {aₙ} es una sucesión convergente, significa que los términos aₙ pueden hacerse arbitrariamente cercanos a L para n suficientemente grande.
Límite de una sucesión
Suponga que {aₙ} es una sucesión y ƒ es una función tal que ƒ(n) = aₙ para n ≥ 1.
Si entonces
Propiedades
Límite de una sucesión
Sean {aₙ} y {baₙ} sucesiones convergentes.
Si y entonces
ii) k un numero real
i) , c es un numero real
iii)
iv)
v)
Sucesiones de la forma {rⁿ}
Suponga que r es una constante distinta de cero. La sucesión {rⁿ} converge a 0 si |r| < 1 y diverge si |1| >|
Sucesiones de la forma {1/n^r}
La sucesión converge a 0 para r cualquier número racional positivo
Sucesión de constantes
Una sucesión de constantes c,c,c,c,c...
se escribe {c}.
El sentido común indica que esta sucesión converge y que su límite es c
Sucesión definida recursivamente
Una sucesión puede
definirse especificando el primer término a₁ junto con una regla para obtener los términos subsecuentes a partir de los términos precedentes.
En este caso se dice que la sucesión está definida recursivamente.
Teorema de compresión
Suponga que {aₙ}, {bₙ} y {cₙ} son sucesiones tales que
para todos los valores de n mayores que algún índice N.Si {aₙ} y {bₙ} convergen a un limite común L, entonces {cₙ} tambien converge a L
Sucesión de valores absolutos
Si la sucesión |aₙ| converge a 0, entonces {aₙ} converge a 0
Se le denomina serie geométrica. Como |r| = |−1/2| < 1, la serie converge.
Sucesiones monótonas
Una sucesión {aₙ} se dice que será
Si una sucesión {aₙ} es de alguno de los siguientes se dice que es monótona
Decreciente
No creciente
Creciente
Se denomina serie armónica alternante, mientras la serie armónica diverge, la serie armónica alternante converge.
Si para toda n ≥ 1
No decreciente
Si para toda n ≥ 1
Si para toda n ≥ 1
La serie en (6) se denomina serie de Taylor de ƒ en a, o centrada en a. La serie de Taylor centrada en a = 0,
Si para toda n ≥ 1
Condición suficiente para la convergencia
Una sucesión monótona acotada {aₙ} converge.
Teorema
Series
Una serie alternante de la forma.
o
Converge si 0 0 ≤ bn + 1 ≤ bn para todos los n ≥ 1 y limn → ∞ bn = 0. Esto se conoce como la prueba de series alternantes.
Es parecido a la serie normal solo que esta tiende a tener sumas infinitas elevado a una potencia.
Convergencia
Existe la convergencia cuando el resultado de la serie se acerca a un posible valor puede ser que converge a cualquier numero aproximado.
Divergencia
Es cuando la serie es infinita y no tenemos ningún dato ni aproximado ni exacto.
Suponga que ƒ es una función que posee derivadas de todos los órdenes sobre un intervalo centrado en el número a.
Si
Para toda x en el intervalo, entonces la serie de Taylor generada por ƒ converge a ƒ(x),
Es una sumatoria de coeficientes en donde x es una variable donde se puede afirmar o aprobar si la serie es convergente o divergente, para saber si x es convergente o divergente se establecen ciertos valores.
Una serie que contiene potencias enteras no negativas de
En general, si m es un entero positivo, entonces
Recibe el nombre de serie de potencias en x-a. Se dice que la serie de potencias está cen-trada en a o tiene centro a.
Utilizando la notación de sumatoria, se escribe:
Suponga ahora con la serie de Maclaurin generada por f es
De acuerdo con la prueba de las proporciones:
concluimos que la serie del binomio (3) converge para |x| > 1, esto es, para x > 1 o x < -1.
La convergencia en los puntos extremos depende del valor de r.
Por lo que si |x| < 1, entonces para cualquier número real r
Donde
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Si {aₙ} es la sucesión a₁, a₂, a₃, ..., aₙ,..., entonces la suma de los términos
a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...
se llama serie infinita o simplemente serie
Las aₖ, k = 1,2,3,..., se denominan terminos de la serie y aₙ se llama el término general
o por conveniencia
Serie infinita
Sucesión de sumas parciales
Asociada con toda serie finita existe una sucesion de sumas parciales {sₙ} cuyos términos estan definidos por:
El término general de esta sucesión se denomina la suma parcial n-ésima de la serie
Serie convergente
Serie geométrica
La serie infinita se dice que es convergente si su sucesión de sumas parciales converge:
El número S se dice que es la suma de la serie. Si no existe, entonces se dice que la serie es divergente
Serie armónica
Suma de una serie geométrica
La serie armónica es la suma de los recíprocos de los enteros positivos:
Se obtine a partir de su sucesión de sumas parciales de la forma:
i) Si |r| < 1, entonces una serie geometrica converge y su suma es:
ii) Si |r| ≥ 1, entonces una serie geométrica diverge.
Pruebas
Prueba de comparación de razón
Prueba de comparación
Prueba de la integral
Se utiliza para determinar si una serie infinita de términos positivos (no negativos) converge o diverge.
Para un entero N y una función continua f (x) que se define como monótona y decreciente en el intervalo [N, ∞)
Si la integral impropia es finita.
Serie infinita
Consiste en un par de afirmaciones sobre series infinitas con términos no negativos
.
Si la serie infinita converge y para todo n suficientemente grande, entonces la serie infinita también converge.
Si la serie infinita diverge y para todo n suficientemente grande , entonces la serie infinita también diverge
Si la serie infinita es absolutamente convergente y para todo n suficientemente grande , entonces la serie infinita también es absolutamente convergente.
Si la serie infinita no es absolutamente convergente y para todo n suficientemente grande , entonces la serie infinita tampoco es absolutamente convergente.
Si la integral incorrecta ,dx converge y 0 , entonces la integral impropia ,dx también converge con ,dx.
Si la integral incorrecta ,dx diverge y , entonces la integral impropia ,dx también divergente
Proporciona una forma de medir qué tan rápido los términos de una serie se acercan a cero.
Si la serie infinita converge y para todo n suficientemente grande , entonces la serie también converge.
Si la serie infinita divergente y para todo n suficientemente grande , entonces la serie también divergente.