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CALCULO NUMÉRICO GRAU A, CÁLCULO NUMÉRICO GRAU B, erro absoluto (3) =…
CALCULO NUMÉRICO GRAU A
Métodos Iterativos: um método iterativo é um procedimento que gera uma sequência de soluções aproximadas que vão melhorando conforme iterações são executadas, e resolvem uma classe de problemas estabelecida.
Erros
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= valor exato
Erro de truncamento: é a ação de truncar um determinado valor. Ex: 2,9658 truncamos em 2,96.
Erro de arredondamento: é a ação de arredondar um determinado valor. Ex: 2,876 arredonda-se para 2,88.
Tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. O primeiro passo é escolher uma aproximação inicial. Após isso, calcula-se a equação da reta tangente (por meio da derivada) da função nesse ponto e a interseção dela com o eixo das abcissas, a fim de encontrar uma melhor aproximação para a raiz.
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Desvantagens: o método pode divergir se a estimativa inicial não for
tomada suficientemente próxima do zero da função.
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Sistemas Lineares
Sistema Impossível (SI)
não possui solução
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Podemos plotar os gráficos em plataformas, como o WolframAlpha, Symbolab, Matlab ou Octave!
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consiste em aproximar a raiz em um intervalo [𝑎, 𝑏], onde a função é estritamente crescente ou decrescente e considerar a raiz aproximada como o ponto médio desse intervalo.
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nosso objetivo é refinar o intervalo, de tal forma a encontrar uma solução aproximada para a raiz.
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i. Localize o intervalo [𝑎, 𝑏] que contém apenas uma raiz da função 𝑓(𝑥). ii. Determine o ponto médio do intervalo: 𝑥𝑚 = 𝑎+𝑏 2 iii. A raiz estará em [𝑎, 𝑥𝑚] se 𝑓(𝑎) ∙ 𝑓(𝑥𝑚) < 0; senão estará no intervalo [𝑥𝑚, 𝑏] iv. Repetir o processo com o intervalo que contém a raiz até que o erro seja menor que a tolerância.
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Equações
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TRANSCENDENTES: envolvem funções trigonométricas, exponenciais, logarítmicas ou a combinação de todas elas.
RAÍZES OU ZEROS DE UMA FUNÇÃO REAL: os valores de x, para os quais f(x)=0, são chamados de zeros ou raízes.
ANALISANDO GRÁFICOS: em um gráfico, o zero ou raiz de f(x)=0 é onde a função "corta" ou "encosta" no eixo horizontal.
DETERMINAÇÃO DAS RAÍZES
1º: localização ou isolamento. Procura-se um intervalo [a,b] que contenha uma e somente uma raíz da equação f(x)=0.
2º: refinamento. Busca-se determinar o valor aproximado da raiz refinando o intervalo [a,b] até a previsão desejada.
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Base Decimal
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Decimal para Binário
Decimal para Octal
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Hexadecimal para Decimal
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Conversão numérica é a passagem da representação de um número de uma base numérica para outra, alterando a simbologia para se adequar á nova base. A base que normalmente usamos é a decimal ou base 10, pois contem dez algarismos.
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CÁLCULO NUMÉRICO GRAU B
CONTEÚDOS ABORDADOS = MÉTODO DE GAUSS SEIDEL, GAUSS JACOBI, INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL, AJUSTE DE CURVA E INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
SISTEMAS LINEARES = PODEM SER DESCRITO COMO PRODUTO DA MATRIZ, ONDE O NÚMERO DE EQUAÇÕES DEVE SER IGUAL AO DE INCOGNITAS!
GAUSS JACOBI= CONSISTE NUM MÉTODO ITERATIVO QUE GERA APROXIMAÇÕES SUCESSIVAS ATÉ OBTERMOS UM ERRO MENOR QUE A TOLERÂNCIA! O ERRO ASSOCIADO A PRIMEIRA APROXIMAÇÃO VAI SE DILUINDO NAS SUCESSIVAS APROXIMAÇÕES QUE LEVAM AO VALOR APROXIMADO DESEJADO. O VETOR COLUNA "X0" REPRESENTA OS VALORES DE ESTIMATIVA INICIAL DAS INCÓGNITAS DO SISTEMA LINEAR, E CASO NÃO SEJA FORNECIDO, COLOCAR ZERO; SUA ESTRUTURA É COMPOSTA BASICAMENTE POR UMA MATRIZ DE COEFICIENTES DO SISTEMA: "𝐴" E O VETOR COLUNA DOS TERMOS INDEPENDENTES "B".
CUIDADOS!!! AMBOS OS MÉTODOS EXIGEM QUE A DIAGONAL PRINCIPAL SEJA DOMINANTE, OU SEJA, PARA TODAS AS LINHAS DA MATRIZ, O MÓDULO DO VALOR DA MATRIZ NA DIAGONAL É MAIOR QUE A SOMA DOS MÓDULOS DE TODOS OS DEMAIS VALORES DAQUELA LINHA.
Regressão Linear: Usa-se de uma equação que determina a relação entre ambas as variáveis, onde: Y = Variável dependente e Yi é o valor predito de Y dado um Xi.
X = Variável independente.
Alfa = Valor previsto de Y quando X = 0.
Beta = É o quanto Y muda, em média, por unidade de mudança em X (inclinação) Aplicação de Regressão Linear Simples;X - Y
4 - 15
6 - 18
7 - 19
5 - 20
8 - 21
10 - 23Plotando estes pontos no gráfico, eles não irão formar uma linha reta, os pontos irão ficar dispersos. A regressão linear tem como objetivo encontrar o intercepto e a inclinação de uma reta que melhor ajuste a estes dados, minimizando assim o grau de erro, gerando uma melhor estimativa de Alfa e Beta.
- Correlação Positiva
- Correlação Negativa
CUIDADOS!!! AO TROCAR A POSIÇÃO DOS NÚMEROS PARA OBTER A DIAGONAL DOMINANTE, A POSIÇÃO DE TODOS OS NÚMEROS DA LINHA ALTERAM TAMBÉM!
ATENÇÃO: APESAR DE SEREM SEMELHANTES, OS MÉTODOS DE GAUSS JACOBI E SEIDEL SÃO DIFERENTES, ALÉM DO SEGUNDO MÉTODO SER MAIS VANTAJOSO, POIS UTILIZA MENOS ITERAÇÕES PARA CALCULAR O ERRO.
GAUSS JACOBI UTILIZA OS DADOS DA ITERAÇÃO ANTERIOR, E SEIDEL USA OS DADOS DA ITERAÇÃO JÁ FEITOS PARA ESTIMAR
GAUSS SEIDEL= É UMA MODIFICAÇÃO DO MÉTODO DE JACOBI-RICHARDSON, CRIADO COM O OBJETIVO DE ACELERAR A CONVERGÊNCIA, OU SEJA UTILIZAR MENOS ITERAÇÕES PARA CHEGAR MAIS PRÓXIMO À RESPOSTA. EM GAUSS-SEIDEL UTILIZAMOS OS VALORES JÁ CALCULADOS PARA O CÁLCULO DOS SEGUINTES.
Ajuste de Curva
Determina os valores de parâmetros de uma função real que fazem com que a curva de ajuste passe o mais perto possível dos nodos.
Para escolher a função podemos utilizar o DIAGRAMA DE DISPERSÃO, criando uma tabela com os dados fornecidos e depois passando para um gráfico no plano cartesiano.
RESÍDUO QUADRÁTICO: forma utilizada para medir a distância entre a função de ajuste f e os nodos (xi,yi).
Quanto mais perto de 0 o R, melhor o ajuste.
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INTERPOLAÇÃO LAGRANGE
A interpolação é uma técnica que pode ser aplicada para encontrar valores relacionados de X e Y. Interpolar uma função 𝑓(𝑥) é, basicamente, aproximar essa função por uma outra função 𝑔(𝑥), escolhida entre uma classe de funções.
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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
INTEGRAÇÃO PODE COMPREENDIDA COMO A ÁREA ABAIXO DA CURVA DEFINIDA POR UMA FUNÇÃO; O MÉTODO DOS TRAPÉZIOS DIVIDE A ÁREA ABAIXO DA CURVA EM TRAPÉZIOS QUE JÁ CONHECEMOS A EQUAÇÃO DA ÁREA, E ATRAVÉS DA SOMA DAS ÁREAS OBTEMOS O VALOR APROXIMADO DA INTEGRAL DEFINIDA!
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O MÉTODO CONSISTE EM DIVIDIR A INTEGRAL EM TRAPÉZIOS QUE CORRESPONDEM AO NÚMERO DE SUB-INTERVALOS! O TAMANHO DE CADA SUB-INTERVALO É DEFINIDO POR: [(B-A)/N)]
ATRAVÉS DA DESCOBERTA DESSE VALOR, É POSSÍVEL DETERMINAR O VALOR DA ALTURA E SUAS RESPECTIVAS BASES PARA O CÁLCULO DE ÁREA
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= valor aproximado
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