ĐỊNH NGHĨA ⭐
ĐỊNH LÍ : 🔥
click to edit
BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA 1
SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
TÍNH CHẤT: ❤
click to edit
PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
click to edit
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R.
Cho hàm số f(x) xác định trên K.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.
ĐỊNH LÍ 1: Nếu F(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hàng số C, hàm số G(x)=F(x)+C cũng là 1 nguyên hàm của f(x) trên K
click to edit
ĐỊNH LÍ 2: Nếu F(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng G(x)=F(x)+C với C là 1 hằng số
KẾT QUẢ:Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Kí hiệu
∫f(x)dx=F(x)+C,C ∈ R
Tính chất 1: (∫f(x)dx)′=f(x) và ∫f′(x)dx=f(x)+C.
Tính chất 2:
∫kf(x)dx=k∫f(x)dx (k là hằng số khác 0)
Tính chất 3: ∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx
click to edit
click to edit
click to edit
∫(a^x)dx=(a^x)/lna+C (a > 0, a ≠ 1)
∫cosxdx=sinx+C
∫sindx=−cos+C
∫(1/cos^2)xdx=tanx+C
∫(1/sin^2)xdx=−cotx+C
∫0dx=C
∫dx=x+C
∫(x^a)dx=1/(α+1)x^(α+1)+C (α ≠ -1)
∫(1/x)dx=ln|x|+C
∫(e^x)dx=e^x+C
click to edit
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Định lý 1: Nếu ∫f(u)du=F(u)+C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì ∫f(u(x))u′(x)dx=F(u(x))+C.
click to edit
click to edit
Chứng minh: Theo công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có
(F(u(x)))”=F′(u).u′(x).
Vì F′(u)=f(u)=f(u(x)) nên (F(u(x)))′=f(u(x))u′(x)
Như vậy, công thức ∫f(u)du=F(u)+C đúng khi u là biến số độc lập thì cũng đúng khi u là một hàm số của biến số độc lập x.
Hệ quả: ∫f(ax+b)dx=(1/a)F(ax+b)+C;(a≠0)
Chú ý: Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u (u = u(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x).
click to edit
Định lý 2: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì
∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)–∫u′(x)v(x)dx
Chứng minh: Từ công thức đạo hàm của tích
(u(x)v(x))′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)
hay u(x)v′(x)=(u(x)v(x))′–u′(x)v(x)
ta có ∫u(x)v′(x)dx=∫(u(x)v(x))′dx–∫u′(x)v(x)dx
Vậy ∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)–∫u′(x)v(x)dx
Chú ý: Vì v′(x)dx=dv,u′(x)dx=du, nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng
∫udv=uv–∫vdu