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Ch3微分數學心智圖 班級：二年乙班 座號：22 姓名：蔡承龍 指導老師：陳永富老師 日期：111年4月21日 - Coggle…
Ch3微分數學心智圖
班級：二年乙班
座號：22
姓名：蔡承龍
指導老師：陳永富老師
日期：111年4月21日
定義
設M為光滑流形，U為M的開集，𝓕U為U上光滑函數代數，p∈U，f∈𝓕U。則f在p的微分為對偶空間T*pM的元，定義為
df(p)(v):=v(f)，v∈TpM。
f在p的微分為對偶空間T*pM的元，定義為 [5]
df(p)(v):=v(f)，v∈TpM。
多元型
當自變量為多個時，可得出多元微分的定義。一元微分又叫常微分。
性質
微分為線性映射d:A0(M)→A1(M)。
d(fg)=fdg+gdf。
{dxi(p)}為與{∂/∂xi(p)}對偶的基
微分公式
f(x)=k，k 為常數，則 f'(x)=0
正弦函數的導數
假設正弦函數y=sin x（x的單位為弧度）上有一點(x,y)和另一點(x+δx,y+δy)
餘弦函數的導數
cos x=sin(π/2-x)，所以d/dx(cos x)=d/dx[sin (π/2-x)]。
設π/2-x=u，我們可以用連鎖律對餘弦函數y=cos x求導
正切函數的導數
正切函數tan x=(sin x)/(cos x)，我們可以用除法律對其求導
假設π/2-x=u，我們可以用連鎖律對餘弦函數y=cos x求導
三角函數的應用1
當我們遇到y=sin/cos/tan u（u是自變量為x的函數且常為ax+b的形式）這類函數的時候，可以使用連鎖律求導
當u的形式為ax+b時，du/dx=a
三角函數的應用2
有時我們需要對y=sin^n x或y=cos^n x（n為常數）這類函數求導，使用連鎖律也可以解決
自然指數函數的導數
在畫圖軟件裏，我們可以看出在函數y=e^x上任意一點(x,y)的斜率均等於y。也就是説，m=dy/dx=y。
因此，函數e^x的導數由以下公式獲得
自然指數函數的應用
我們可以使用連鎖律對y=e^u（u是自變量為x的函數）求導
自然對數函數的導數
我們可以通過d/dx(e^x)=e^x對自然對數函數y=ln x求導
自然對數函數的應用
我們可以使用連鎖律對y=ln u（u是自變量為x的函數）求導
自然對數函數
d/dx(ln u)=(1/u)(du/dx)
d/dx(ln x)=1/x
d/dx[ln (ax+b)]=a/(ax+b)
自然指數函數
d/dx(e^x)=e^x
d/dx(e^u)=(e^u)(du/dx)
d/dx[e^(ax+b)]=ae^(ax+b)
多項式
當函數為幾個 形式的單項式的和或差時，這個函數的導數只需在原函數的導數上進行加減即可。
單項式
當函數為單項式 （a和n為常數）的形式時，有基本公式
注意：基本公式極為重要，在學習更為複雜的運算法則前請務必牢記。
從冪函數到單項式
我們可以把冪函數的斜率擴展到單項式函數 的斜率，依然假設有兩點(x,y)和
切線微分
需要求出曲線上一點的斜率時，前人往往採用作圖法，將該點的切線畫出，以切線的斜率作為該點的斜率。
性質
如果f是線性映射，那麼它在任意一點的微分都等於自身。