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微分 班級：二年乙班 座號：10號 姓名：林昆廷 指導老師：陳永富老師 - Coggle Diagram
微分
班級：二年乙班
座號：10號
姓名：林昆廷
指導老師：陳永富老師
定義
導數也是起源於幾何學中。
求在平面上通過一曲線上某點之切線斜率。
微分中的最主要想法就是導數的概念。
十七世紀初費馬欲決定某些函數之極大及極小值，才有了導數的概念。
函數 f 在 x 之導數
若上式之極限存在，便稱 f 在 x 可微。
若 f 在定義域中每點皆可微，則稱f 為一可微函數， 或說 f 可微。
f 在 x 之右導數及左導數，二者也皆稱為單側導數。
故此時導數並不存在）。
函數 f 在 x 可微，則 f 在 x 連續。
limx→a
f(x) = L 表示: 當 x 很靠近 a 時, f(x) 很靠近 L, 而且要有多接近, 就
有 多接近。 我們稱 f(x) 在 x = a 的極限 (limit) 為 L。
切線
其切線 (tangent line) 為通過 P, 且其斜率為 m 的直線, 即 y = f(a) + m(x − a)。
其法線 (normal line) 為通過 P 且與切線垂直的直線, 即
曲線 y = f(x) 在點 P(a, b) 之斜率 (slope) 為
導函數
定義：令 f(x) 為一函數, 且 a ∈ Dom f。
導函數的定義可表為
假設極限
存在, 則定義此極限為函數 f(x) 在 x = a 的導數 (derivative), 記為
, 且稱函數。
極限
無窮極限
無限遠的極限
單側極限
(a) lim x→2− g(x), (b) lim x→2+ g(x), (c) limx→2 g(x), (d) lim x→5+ g(x), (e) lim x→5− g(x), (f) limx→5 g(x)
定義
. 令 f(x) 在包含 x = a 的某一開區間上有定義。 若 ∀ε > 0, ∃δ > 0 使得 0 < |x−a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε, 則稱為 f(x)在 x 趨近於 a 時的極限為 L, 記為 limx→a f(x) = L 。
連續
定義
若滿足 lim x→a+ f(x) = f(a), 則稱 f(x) 在點 a 為右連續。
若滿足 lim x→a− f(x) = f(a), 則稱 f(x) 在點 a 為左連續。
. (1) 若 y = f(x) 滿足以下三條件: (i) f(a) 有定義。 (ii) limx→a f(x) 存在。 (iii) limx→a f(x) = f(a) , 則稱 f(x) 在點 a 連續。
若 f 在 x = a 且 g 在 f(a) 連續, 則 g ◦ f 在 x = a 連續。
符號
N 自然數系 (正整數, natural numbers)
Z 整數系 (integers)
Q 有理數系 (rational numbers)
R 實數系 (real numbers)
C 複數系 (complex numbers)
∀ 表示 “對所有”(for all)
微分公式
應用
速度
斜率
加速度
