微分
班級:二年乙班
座號:10號
姓名:林昆廷
指導老師:陳永富老師

定義

切線

極限

符號

導數也是起源於幾何學中。

求在平面上通過一曲線上某點之切線斜率。

微分中的最主要想法就是導數的概念。

十七世紀初費馬欲決定某些函數之極大及極小值,才有了導數的概念。 

函數 f 在 x 之導數 FireShot Capture 246 - 2.7導數的定義及基本性質 - www.stat.nuk.edu.tw

N 自然數系 (正整數, natural numbers)

Z 整數系 (integers)

Q 有理數系 (rational numbers)

R 實數系 (real numbers)

C 複數系 (complex numbers)

∀ 表示 “對所有”(for all)

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若上式之極限存在,便稱 f 在 x 可微。

若 f 在定義域中每點皆可微,則稱f 為一可微函數, 或說 f 可微。

f 在 x 之右導數及左導數,二者也皆稱為單側導數。

FireShot Capture 249 - 2.7導數的定義及基本性質 - www.stat.nuk.edu.tw 故此時導數並不存在)。 FireShot Capture 250 - 2.7導數的定義及基本性質 - www.stat.nuk.edu.tw

函數 f 在 x 可微,則 f 在 x 連續。

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limx→a

f(x) = L 表示: 當 x 很靠近 a 時, f(x) 很靠近 L, 而且要有多接近, 就

有 多接近。 我們稱 f(x) 在 x = a 的極限 (limit) 為 L。

無窮極限

無限遠的極限

單側極限

(a) lim x→2− g(x), (b) lim x→2+ g(x), (c) limx→2 g(x), (d) lim x→5+ g(x), (e) lim x→5− g(x), (f) limx→5 g(x)

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定義

. 令 f(x) 在包含 x = a 的某一開區間上有定義。 若 ∀ε > 0, ∃δ > 0 使得 0 < |x−a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε, 則稱為 f(x)在 x 趨近於 a 時的極限為 L, 記為 limx→a f(x) = L 。

連續

定義

若滿足 lim x→a+ f(x) = f(a), 則稱 f(x) 在點 a 為右連續。

若滿足 lim x→a− f(x) = f(a), 則稱 f(x) 在點 a 為左連續。

. (1) 若 y = f(x) 滿足以下三條件: (i) f(a) 有定義。 (ii) limx→a f(x) 存在。 (iii) limx→a f(x) = f(a) , 則稱 f(x) 在點 a 連續。

若 f 在 x = a 且 g 在 f(a) 連續, 則 g ◦ f 在 x = a 連續。

其切線 (tangent line) 為通過 P, 且其斜率為 m 的直線, 即 y = f(a) + m(x − a)。

其法線 (normal line) 為通過 P 且與切線垂直的直線, 即 FireShot Capture 254 -  - www.math.ntu.edu.tw

曲線 y = f(x) 在點 P(a, b) 之斜率 (slope) 為 FireShot Capture 253 -  - www.math.ntu.edu.tw

導函數

定義:令 f(x) 為一函數, 且 a ∈ Dom f。

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導函數的定義可表為 FireShot Capture 260 -  - www.math.ntu.edu.tw

假設極限 FireShot Capture 255 -  - www.math.ntu.edu.tw 存在, 則定義此極限為函數 f(x) 在 x = a 的導數 (derivative), 記為 FireShot Capture 256 -  - www.math.ntu.edu.tw , 且稱函數。

微分公式

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應用

速度

斜率

加速度

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