KELOMPOK 4 POLINOMIAL

Aprita

Algoritma Pembagian Polinom
lembar kerja 3

P(X) = G(X).H(X)+S

P(x) : suku banyak yang dibagi

G(x) : pembagi

H(x) : hasil pembagian :

S : sisa pembagi

Nilai Polinom (Suku Banyak)
lembar kerja 4

nilai dari suku banyak memiliki dua cara,
dengan metode subtitusi dan horner.
metode subtitusi itu dengan cara menggati nilai x nya,
sedangkan metode horner dengan cara meletakan koefisien yang dimiliki variabel-variabelnya pada aturan yang telah ditentukan.

contoh:
3x^4-2x^3+x-7 untuk x=2.nilai f(2)

metode subtitusi:


f(2)= 3(2)^4-2(2)^3+2-7
f(2)= 48-16+2-7 = 27


jadi nilai suku banyak f(2) = 27

metode bagan/skema


WhatsApp Image 2022 (2)


dari bagan di atas diperoleh f(2)= 27
jadi, nilai f(2)= 27

contoh: x^3+4x^2+5x-8 dibagi x-2

cara mengerjakan menggunkan
skematik horne

WhatsApp Image 2022

koefisien hasil bagi: 1 6 7
hasil bagi yang ditulis: x^2+6x+7
sisanya: 6
algoritma pembaginya:
x^3+4x^2+5x-8=(x-2)(x^2+6x+7)+6

Faa'izah Alya

LK 7 dan 8

LK 8 (Akar-akar Rasional Persamaan Polinom)

LK 7 (Akar-akar Polinom)

TEOREMA AKAR-AKAR RASIONAL:
Misalkan f(x) = anx^n + an-1x^n-1 + ... + a2x^2 + a1x + a0 = 0 adalah sebuah persamaan suku banyak dengan koefisien-koefisien bulat. Jika c/d adalah akar rasional dari f(x) = 0, maka c adalah faktor bulat positif dari a0 dan d adalah faktor bulat dari a0.

CONTOH: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0, Langkah pertama, dengan mencoba-coba beberapa bilangan faktor dari 6 seperti: -1, 1, -2, 2, -3, 3, -6, 6. Langkah kedua, Menghitung menggunakan cara horner, misalnya menggunakan (x+1), jadi x = -1 WhatsApp Image 2022-04-17 at 12.35.39 AM
Sehingga bentuk persamaan tersebut menjadi: (x+1) (x^2 - 5x + 6) = 0 jika diuraikan menjadi: (x+1) (x-2) (x-3) = 0, x = -1, x = 2, x = 3. Sehingga HP nya { -1, 2, 3 }.

PENYELESAIAN PERSAMAAN SUKU BANYAK: Misalkan f(x) adalah sebuah suku banyak, (x - k) adalah faktor dari f(x) jika dan hanya jika k adalah akar dari f(x) = 0, k disebut akar atau nilai nol dari persamaan suku banyak f(x) = 0

Bentuk umum :

  1. x1 + x2 + ... + xn = -b/a
  1. (x1.x2) + (x1.x3) + (x2.x3) + ... = c/a
  1. x1.x2. ... .xn = d/a (bila berderajat genap)
  1. x1.x2. ... .xn = -d/a (bila berderajat ganjil)

CONTOH: Persamaan 2x^3 + px^2 + 7x + 6 = 0 mempunyai akar x = 2. Jumlah ketiga akar tersebut adalah... Langkah pertama, Jumlah ketiga akar merupakan bentuk umum persamaan yang pertama yaitu x1 + x2 + x3, maka kita akan mencari menggunakan rumus -b/a. Langkah kedua, kita menggunakan cara horner dengan memasukkan x = 2 WhatsApp Image 2022-04-17 at 1.59.14 AM
Jika sudah ketemu nilai p nya kita bisa langsung mencari menggunakan rumus -b/a. Menjadi -(-9)/2 = 4,5 Maka jumlah ketiga akar persamaan tersebut adalah 4,5.

Widya

LK 1 DAN 2

LK 1: pengertian polinom dan operasi aljabar

POLINOM

Suku banyak (polinomial) adalah sebuah ungkapan aljabar yang variabel (peubahnya) berpangkat
Bilangan bulat non negative.

bentuk umum:

y = F(x) = a0x n + a1x n-1 + a2x n-2 + ... + an-1x + an
Dengan n € bilangan bulat , an ≠ 0


*Pengertian-pengertian:
a0, a1, a2 ,..., an-1 , an
Disebut koefisien masing-masing bilangan real (walaupun boleh juga bilangan kompleks) :

derajat suku banyak:

Derajat Suku Banyak adalah pangkat tertinggi dari pangkat-pangkat pada tiap-tiap suku,disebut n.Untuk suku banyak nol dikatakan tidak memiliki derajat.
Suku : a0x n, a1x n-1, a2x n-2, ... , an-1x , an


*Masing-masing merupakan suku dari suku banyak

Suku tetap:

Suku Tetap (konstanta) a0 adalah suku tetap atau konstanta, tidak mengandung variabel/peubah. Sedangkan anx n adalah suku berderajat tinggi.

nilai suku banyak:

Jika f(x) = axn + bxn-1+cxn-2+...+h maka nilai suku banyak dapat dicari dengan cara subtitusi dan
skematik.

CONTOH SOAL KONSEP POLINOMIAL

click to edit

  1. Diketahui suku banyak: f(x) = 2x5+3x4-5x2+x-7 Tentukan suku tetapnya.

Jawab : Suku tetap adalah konstanta. Maka, suku tetapnya adalah -7

  1. Diketehui suku banyak: f(x) = 2x5+3x4 -5x2+x-7 tentukan derajat suku banyaknya



    Jawab: Derajat suku banyak adalah pangkat tertinggi dari suku-suku yang ada. x5 adalah pangkat tertinggi. Jadi f(x) berderajat 5

OPERASI ALJABAR

Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian suku banyak

CONTOH SOAL OPERASI ALJABAR PADA SUKU BANYAK

  1. Penjumlahan
    f (x) = 3x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 3 , g(x) = 4x3 – 6x2 + 7x - 1
    Tentukan : f (x) + g(x)
    Jawab : f (x) + g(x) = (3x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 3) + (4x3 – 6x2 + 7x – 1)
    = 3x4 + (-2 +4)x3 + (5-6)x2 + (-4+7)x + (3-1)
    = 3x4 + 2 x3 – 1x2 + 3x + 2
  1. pengurangan
    f (x) = 3x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 3 , g(x) = 4x3 – 6x2 + 7x - 1
    Tentukan : f (x) - g(x)
    Jawab : f (x) - g(x) = (3x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 3) - (4x3 – 6x2 + 7x – 1)
    = 3x4 + (-2 -4)x3 + (5+6)x2 + (-4-7)x + (3+1)
    = 3x4
    = 6x3 +11x2
    = 11x + 4
  1. Perkalian
    f (x) = 2x3 + 5x2 – 4x + 3 , g(x) = 6x2 + 7x - 1
    Tentukan : f (x) . g(x)
    Jawab : f (x) . g(x) = (2x3 + 5x2 – 4x + 3) x (6x2 + 7x – 1)
    = 2x3

(6x2 + 7x – 1) + 5x2


(6x2 + 7x – 1)
– 4x (6x2 + 7x – 1) + 3 (6x2 + 7x – 1)
= 12x5 + 14x4 – 2x3 + 30x4 + 35x3 – 5x2

  • 24x3 – 28x2 + 4x + 18x2 +21x - 3
    = 12x5 + 34x4 – 26x3 – 15x2 + 25x – 3

LK 2: menganalisis keterbagian dan faktorisasi polinom

Misal kita disuruh untuk menentukan pembagian, 249 : 5 =
Screenshot_20220417-210534_Chrome


*keterangan
• 249 adalah bilangan yang di bagi
• 49 adalah hasil yang di bagi
• 5 adalah pembagi
• 4 adalah sisa pembagian

Jika di masukkan rumus menjadi:
249 = 5 . 49 + 4

maka dapat disimpulkan
pembagian suku banyak P(x) oleh (x - a) dapat ditulis dengan :


P(x) = (x - a)H(x) + S


*keterangan: P(x) adalah suku banyak yang dibagi,
(x - a) adalah pembagi,
H(x) adalah hasil pembagian,
dan S adalah sisa pembagian.

adinda hasna

LK 5 & 6

LK 5 : teorema sisa

pengertian


teorema sisa adalah sisa sisa pembagian suku banyak tanpa mengetahui suku banyak / hasil baginya

pembagian dengan (x - a)


jika suku banyak p(x) dibagi (x - a) maka sisanya sama dengan nilai suku banyak p(a). akibatnya jika p(x) dibagi (x + a) maka sisanya p(-a) dan jika p(x) dibagi (ax - b) maka sisanya p (b / a)

contoh

  • tidak menggunakan horner

tentukan sisanya jika 2X^3 - X^2 + 7X + 6 dibagi
(X + 1) atau dibagi X - (-1)


jwb:
X + 1= 0
X = -1


P(X) = 2X^3 - X^2 + 7X + 6
P (-1) = 2. (-1)^3 - (-1)^2 + 7(-1) + 6
= 2 - 1 - 7 + 6
= -4

LK 6 : teorema faktor

pengertian
teorema faktor digunakan untuk menentukan akar akar / faktor dari suatu suku banyak. inti dari teorema faktor adalah suatu pembagi merupakan faktor dari suku banyak jika memiliki sisa 0

memahami faktorisasi polinom
misalkan f(X) adalah sebuah suku banyak
(x - k) adalah faktor dari f(x) jika da hanya jika
f(k) = 0

teorema faktor dapat dibaca sebagai

  1. jika (x -k) adalah faktor dari f(x) maka f(x) = 0
  2. jika f(x) = 0 maka (x - k) adalah faktor dari f(x)

langkah langkah menentukan faktor suku banyak


  1. jika (x - k) adalah faktor dari suku banyak f(x) = An X^n + An-1 X^n-1 +...+ A2 X^2 + A1 X + A0 maka nilai nilai k yang mungkin adalah faktor bulat dari A0
  2. dengan cara coba coba, subtitusi nilai x=k sehingga diperoleh f(x) = 0 atau dapat menggunakan cara horner dengan sisa = 0. jika demikian makan (x - k) adalah faktor dari f(x). akan tetapi jika f(x) tidak sama dengan 0 maka (x -k) bukan faktor dari f(x)
  3. setelah diperoleh sebuah faktor (x - k), faktor faktor yng lain dapat ditentukan dari suku banyak hasil bagi f(x) oleh (x -k)

contoh


tenukan nilai a, jika f(x) = x^3 + ax^2 - 11x + 30 mempunyai faktor (x + 3)


jwb:
x + 3 = 0
x = -3


f(x) = (-3)^3 + a(-3)^2 - 11(-3) + 30
0 = -27 + 9a + 33 + 30
-36 = 9a
a = -4


jadi f(x) = x^3 + ax^2 - 11x + 30 mempunyai faktor (x + 3) untuk nilai a = -4