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Capítulo 2 - Produtos notáveis, fatoração e equações do 2° grau - Paulo…
Capítulo 2 - Produtos notáveis, fatoração e equações do 2° grau - Paulo Yassuo Yamahata - 9A
Produtos notáveis
O quadrado da soma de 2 termos
Ex: (a+b)^2 = a^2 + 2ab+ b^2 --> TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
O quadrado da soma de 2 termos é igual ao quadrado do 1° termo mais o dobro do produto do 1° pelo 2° termo mais o quadrado do 2° termo
O quadrado da diferença entre 2 termos
Ex: (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
O quadrado da diferença entre 2 termos é igual ao quadrado do 1° termo menos o dobro do produto do 1° pelo 2° termos mais o quadrado do 2° termo
produto da soma pela diferença dos mesmos 2 termos
(a+b)(a-b) *aplicar distributiva = a^2 - ab +ba - b^2 = a^2 - b^2
O produto da soma pela diferença dos mesmos 2 termos é igual ao quadrado do 1° termo menos o quadrado do 2° termo
Fatoração de polinômios
Fazer a fatoração ou fatorar um polinômios é expressá-lo como o produto de 2 ou mais polinômios
1°caso: fator comum em evidência
Ex: 3ac+ 3ab = 3a X (c+b)
3a é o FATOR COMUM aos 2 termos do 2ac +3ab. Então ele é um dos fatores na fatoração
2° caso: agrupamento
Ex: ax+2a+5x+ 10 ---> a(x+2) + 5(x+2) ---> (x+2) X (a + 5)
o fator comum é x+2
3° caso: diferença entre 2 quadrados
Ex:x^2 - 64 = (x+8)(x-8)
dizemos que (x+8)(x-8) é a forma fatorada de x^2-64
4° caso: trinômio quadrado perfeito
Ex: 9x^2 + 60x + 100=(3x+10 ---> (3x^2); 2 X 3x X 10; 10^2
Outras fatorações
Há polinômios que podem ser fatorados mais de uma vez
ex: 3x^2 - 75 = 3(x^2-25) = 3(x+5)(x-5)
Aplicações dos casos de fatoração
Resolução de equação-produto
é quando podemos fatorar uma equação usando T.Q.P (Trinômio Quadrado Perfeito) e obter (x+y)(x-y)=0
Ex: (3x-1)(x+4) = 0; 3x=1; x' = 1/3; x"=-4
Cálculos com números
Ex: 1003^2 = (1000+3)^2 = 1 000 000 + 6 000 + 9 = 1 006 009
Demonstrações
Equações do 2° grau com 1 incógnita
Completa
quando todos os coeficientes não são 0
Incompleta
quando 1 ou mais coeficientes são 0
Raízes ou soluções de uma equação
é a resolução de uma equação, que podem ser x' ou mais
Resolução de equações incompletas do 2° grau
Do tipo ax^2+c=0, com a ≠ 0 e c ≠ 0
3x^2 - 48 =0 --> 3x^2 - 48 +48 = 0 + 48 (somamos 48 para ambos os lados para "equilibrar" a balança) 3x^2 = 48 --> 3x^2/3 = 48/3 --> x^2 = 16 --> x = ±√16 --> x' = 4 e x" = -4
Do tipo ax^2 + bx = 0, com a ≠ 0 e b ≠ 0
2x^2 = 4x --> 2x^2 -4x = 0 --> x X (2x-4) =0 --> x=0 ou 2x-4=0 --> x' = 0 e x"=3
Resolução de equações completas do 2° grau cujo primeiro membro é um T.Q.P.
Ex: x^2 + 8x + 16 = 0 --> (x+4)^2 = 0 -->x+4 = 0 --> x=-4
Resolução de quaisquer equações completas do 2° grau
Método de completar quadrados
Ex: x^2 + 6x - 7 = 0 --> x^2 + 6x = 7 --> x^2 +6x +
9 = 7 +
9
O *9 é o quadrado de 3, do 6x (2 X x X3), assim obtemos um T.Q.P
FÓRMULA DE BHASKARA
sendo Δ = b^2-4ac
Discriminantes
quando Δ > 0, a equação tem 2 raízes distintas
quando Δ = 0, a equação tem 2 raízes iguais
quando Δ < 0, a equação não tem raízes em R
Determinação de uma equação do 2° grau conhecidas as raízes
Para x = -4, temos x + 4 = 0;e, para x= 5 , temos x - 5 = 0--> (x+4)(x-5) = 0
Nesse caso, temos: x^2 - x -20
Trinômio do 2° grau
Um polinômio do tipo ax^2 + bx + c, com a , b e c reais e a ≠ 0, pode ser fatorado como ax^2 + bx + c = a(x-x')(x-x"), sempre que a equação ax^2 + bx + c = 0 tiver raízes reais x ' e x", distintas ou iguais
