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Equazioni, disequazioni e sistemi - Coggle Diagram
Equazioni, disequazioni e sistemi
Equazioni monomie, binomie e trinomie
Binomie
ax'n + b = 0
Possiede tre soluzioni
se n è pari
-b/a < 0
-b/a > 0 , x = 土‘n√ -b/a
se n è dispari
x = ‘n√ -b/a
Trinomie
ax'2n + bx'n + c = 0
Se n = 1
Un'equazione trinomia si riduce a un'equazione di secondo grado
Se n = 2
Un'equazione trinomia è di quarto grado e si dice biquadratica
Se n ≥ 2
Si effettua una sostituzione x'n = t
L'equazione si trasforma
at'2 + bt + c =0
Se l'equazione non ha soluzioni reali, anche quella originaria è priva di soluzioni reali
Se ammette soluzioni reali, le soluzioni dell'equazione originaria sono le soluzioni di due equazioni binomie
Monomie
ax'n = 0
Le equazioni monomie possiedono n soluzioni coincidenti uguali a zero
Equazioni risolvibili mediante scomposizioni in fattori
Scomposizioni in fattori
Per risolvere un'equazione dove un polinomio è uguale a zero ( P = 0 ) si può utilizzare la tecnica della scomposizione
Le soluzioni per razionali di un'equazione polinomiale a coefficienti interi
Si suppone che P sia un polinomio a coefficienti interi, di grado n. Se p/q è uno zero razionale di P allora p è un divisore del termine noto di P e q è un divisore del coefficiente del termine di P di grado n.
Equazioni polinomoinali
Le equazioni di grado minore o pari a 4 si possono risolvere per radicali
Molteplicità di una soluzione
Si chiama molteplicità di una soluzione r dell'equazione polinomiale P(x) = 0 l'esponente della più alta potenza di ( x - r ) che compare nella scomposizione di P in fattori riducibili
Un'equazione polinomiale di grado dispari ammette sempre almeno una soluzione reale
Approssimazioni per le soluzioni di un'equazione polinomiale di grado n
le soluzioni dell'equazione P = 0 sono tante quante i punti di intersezione del grafico y = P con l'asse x
Per avere un'approssimazione delle soluzioni dell'equazione, basta ricavare un'approssimazione delle ascisse di tali punti di intersezione
Disequazioni di grado superiore al secondo
Procedimento
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Studiare il segno di ciascun fattore
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scomporre il polinomio al primo membro della disequazione in fattori di primo o secondo grado
( o eventualmente di grado superiore, purché se ne sappia studiare il segno )
Ricondurre la disequazione a forma normale
( se non lo è già )
Sistemi di grado superiore al secondo e sistemi simmetrici
Metodo di sostituzione
Per applicare il metodo di sostituzione si hanno due possibilità
Sostituire e ottenere un'equazione risolvente in x
equazione di quarto grado
Ricavare x'2 e sostituire l'espressione
equazione di secondo grado
Metodo di addizione e sottrazione
Se in entrambe le equazioni l'incognita x e y compaiono in termini sia di primo che di secondo grado
1
Moltiplicare tutti i termini della seconda equazione per 2 per poi sottrarle membro a membro
2
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Utilizzo di opportune scomposizioni
Talvolta alcune opportune scomposizioni, unite all’applicazione della legge di annullamento del prodotto, possono consentire di ricondurre la risoluzione di un sistema di grado superiore al secondo alla risoluzione di sistemi di secondo grado.
Sistemi simmetrici
Un sistema di due equazioni nelle due incognite x e y tale che ciascuna delle due equazioni, scambiando x con y, resta equivalente a se stessa si dice simmetrico
{
x + y = s
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Interpretazione grafica di particolari sistemi di grado superiore al secondo
Interpretazione grafica di un sistema di quarto grado
Si prende come esempio il sistema
{
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Interpretazione grafica di un sistema simmetrico
Si prende come esempio il sistema
{
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