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Q1: Encontre a série de em -π <= x <= π para f(x) = |sin(x)|, uma…
Q1: Encontre a série de em -π <= x <= π para f(x) = |sin(x)|, uma função par (série cosseno)
Uma função par
Uma função g(x) é dita par de g(-x) = g(x), para todo x
Se g(x) é uma função par, então:
A Série de Fourier de uma função cosseno
A série de Fourier de uma função periódica par f(x) que possui período igual a 2l é uma série de Fourier de cossenos dada por
com coeficientes
Expansão em meio-intervalo
Dada uma função f(x)f(x) definida num intervalo (0,L)(0,L), podemos expandir essa função como uma série de senos ou uma série de cossenos, gerando uma expansão par ou ímpar de f(x)f(x), colocando-a, ainda, como uma função de período 2L2L.
Essas séries são conhecidas como expansão de Fourier de meio intervalo da função f(x)f(x).
A forma Complexa da Série de Fourier
A série de Fourier da extensão par (série cosseno) é dada por
A forma complexa da série Fourier de uma função periódica real f pode ser obtida como uma combinação linear de funções exponenciais complexas.
Combinação linear é uma expressão construída a partir de um conjunto de termos, multiplicando cada termo por uma constante
Uma função exponencial complexa é definida por: Seja f:C -> C, uma função. Se z = x + iy é um número complexo (x e y reais), a função exponencial complexa é definida da seguinte maneira: f(z) = e^z = e^(x + iy) = e^x * e^iy = e^x (cos y + i sen y)
A importância das séries de Fourier
Há uma enorme diferença entre estudar séries de Fourier e
de potências, porque uma série de Fourier funciona como um processo global enquanto uma série de potências é local
São de fundamental importância na engenharia, visto que a resolução de modelos multidimensionais (problemas de contorno) possuem, geralmente, funções tipo séries com termos periódicos
As séries de Fourier são um caso particular da transformada de Fourier e permitem decompor uma função périódica qualquer na soma de um número infinito de funções senoidais com diferentes frequências e amplitudes.
Além das aplicações na resolução de equações diferenciais, as séries de Fourier possuem aplicações em engenharia elétrica, análise de vibrações, processamento de imagens e sinais, física quântica, econometria entre outras
