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Q1 - Séries de Fourier - Coggle Diagram
Q1 - Séries de Fourier
relevância
usada para representar funções infinitas e periódicas complexas dos processos físicos, na forma de funções trigonométricas simples de senos e cossenos
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Definição
Formula geral:
$$T(t) = \frac{a0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left [ an * \cos\left ( \frac{n\pi t}{L} \right ) + bn * \sin \left ( \frac{n\pi t}{L} \right ){} \right ]$$
coeficientes:
$$an = \frac{1}{L}\int_{c}^{c+2L} F(t) \cos\left ( \frac{n\pi t}{L} \right )dt, n \geq 1$$
$$bn = \frac{1}{L}\int_{c}^{c+2L} F(t) \sin\left ( \frac{n\pi t}{L} \right )dt, n \geq 1$$
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Para definirmos a série de fourier, é nescessário que ela satisfaça as seguintes condições:
1º condição: A função deve ser unívoca/injetora (de um para um), e contínua exceto em um número finito de descontinuidade ordinárias dentro do período 2L;
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seja F uma função periódica de periodo 2L, ou seja f(t+2L)=f(t) para todo t, ela tem que atender as confições de Dirichlet para podermos definirmos nossa série de fourier.
3º confição: A função é absolutamente integrável, ou seja, a integral a seguir converge. $$\int_{0}^{2L} \left | f(t) \right | dt $$
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Propriedades:
Teorema de Parseval
considerando uma função f(t), com período T e representavél por uma série de fourier, a seguinte identidade é válida.
$$\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\left | f(t) \right |^{2} dt = \sum_{n= -\infty }^{\infty}\left | Cn \right |^{2}$$
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Funções Pares e Ìmpares
Par
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$$an = \frac{2}{L}\int_{0}^{L} F(t) \cos\left ( \frac{n\pi t}{L} \right )dt, n \geq 0$$
ímpar
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$$bn = \frac{2}{L}\int_{0}^{L} F(t) \sin\left ( \frac{n\pi t}{L} \right )dt, n \geq 0$$
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