Q1 - Séries de Fourier
relevância
usada para representar funções infinitas e periódicas complexas dos processos físicos, na forma de funções trigonométricas simples de senos e cossenos
simplifica a visualização e manipulação de funções complexas.
Foi criada em 1807 por Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)
Definição
Formula geral:
T(t)=a02+∞∑n=1[an∗cos(nπtL)+bn∗sin(nπtL)]
coeficientes:
$$an = \frac{1}{L}\int_{c}^{c+2L} F(t) \cos\left ( \frac{n\pi t}{L} \right )dt, n \geq 1$$
$$bn = \frac{1}{L}\int_{c}^{c+2L} F(t) \sin\left ( \frac{n\pi t}{L} \right )dt, n \geq 1$$
$$a0 = \frac{1}{L}\int_{c}^{c+2L} F(t)dt $$ :
Para definirmos a série de fourier, é nescessário que ela satisfaça as seguintes condições:
1º condição: A função deve ser unívoca/injetora (de um para um), e contínua exceto em um número finito de descontinuidade ordinárias dentro do período 2L;
2º condição: A função tem um número finito de máximos e mínimos dentro do período 2L;
seja F uma função periódica de periodo 2L, ou seja f(t+2L)=f(t) para todo t, ela tem que atender as confições de Dirichlet para podermos definirmos nossa série de fourier.
Aplicações:
Propriedades:
Teorema de Parseval
Funções Pares e Ìmpares
3º confição: A função é absolutamente integrável, ou seja, a integral a seguir converge. $$\int_{0}^{2L} \left | f(t) \right | dt $$
considerando uma função f(t), com período T e representavél por uma série de fourier, a seguinte identidade é válida.
$$\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\left | f(t) \right |^{2} dt = \sum_{n= -\infty }^{\infty}\left | Cn \right |^{2}$$
Esta integral se relaciona com o conceito de potência média de um sinal.
Sendo Cn os coeficientes complexos da série analisada.
Par
ímpar
afirmações:
A soma e a diferença de duas funções pares é par;
A soma e a diferença de duas funções ímpares é ímpar;
A soma e a diferença de uma função par e uma função ímpar não é nem par nem ímpar;
O produto e o quociente de duas funções pares é par;
O produto e o quociente de duas funções ímpares é par;
O produto e o quociente de uma função par e uma função ímpar é ímpar.
an = 0 para n>=1
$$an = \frac{2}{L}\int_{0}^{L} F(t) \cos\left ( \frac{n\pi t}{L} \right )dt, n \geq 0$$
an = 0 para todo n>=1
$$bn = \frac{2}{L}\int_{0}^{L} F(t) \sin\left ( \frac{n\pi t}{L} \right )dt, n \geq 0$$
a0 =0 para todo n>=1
Matemática
Engenharia Hidrica
Acústica e sons
Discretização de sinais