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Séries de Fourier - Coggle Diagram
Séries de Fourier
Forma Geral
\[F(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot cos(nx) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \cdot sen(nx) \]
Qualquer função periódica infinita pode ser representada por essa expressão, com mesmos coeficientes dos casos particulares
Caso particular - Funções Ímpares
\[S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \cdot sen(nx)\]
Qualquer função periódica ímpar pode ser representada pelo seno de Fourier
Queda rápida o suficiente dos coeficientes conserva propriedades da função
Ímpar
Zera nos limites
Peridiocidade
\[b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} S(x) \cdot sen(kx) dx\]
Caso particular - Funções Pares
\[C(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot cos(nx) \]
Qualquer função periódica ímpar pode ser representada pelo cosseno de Fourier
Propriedades
Periódica
Par
Média é a0
\[ a_k = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} C(x) \cdot sen(kx) dx\]
Decaimento dos coeficientes
\[ \frac{1}{k^2}\]
Rampas
\[ \frac{1}{k^4} \]
"Spline"
\[\frac{1}{k} \]
Pulos
\[ r^k, r\leq 1 \]
Funções analíticas
Sem decaimento
"Spikes"
Forma Complexa
\[F(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \cdot exp(ikw) \]
\[ c_k = \frac{1}{2\pi} \langle F(x),exp(-ikw)\rangle = \frac{1}{2\pi}\langle exp(ikw),F(x)\rangle \]
\[ \frac{dF}{dx}, c_{k, new} = ik \cdot c_k \]
\[ \int F(x) dx , c_{k, new} = \frac{c_k}{ik}\]
\[F(x-s), c_{k, new} = exp(-iks) \cdot c_k \]
Computação com complexos é melhor, sendo útil nesse aspecto
Aplicações
Representar funções periódicas através de uma soma
Ondas
Compressão
MP3
JPEG
Processamento de sinais / Redução de ruídos
Telecomunicações