CONJUNTOS
Un conjunto es la agrupación de diferentes elementos que comparten entre sí características y propiedades semejantes.
Tipos de conjuntos
Conjunto finito
Es aquel Conjunto que tiene números limitado de elementos y que a su vez se puede contar.
Conjunto infinito
Sus elementos no se pueden contar o enumerar en su totalidad, debido a que no tienen fin.
Conjunto unitario
Esta compuesto por un único elemento.
Conjunto vacío
Es aquel que no tiene elementos. Se denota con el símbolo ∅
Notación De Los Conjuntos
Por compresión
Son aquellos conjuntos cuya notación indica cada uno de los elementos si no que de manera general si indica las propiedades de sus elementos.
Por extensión
Cuando sus elementos están indicados explícitamente, es decir, se mencionan en forma completa los elementos del conjunto.
Relaciones Entre Conjunto
Contenencias entre Conjuntos
Un conjunto A es subconjunto del conjunto B, si todo elementos A es a su vez un elemento del conjunto B
La relación de contenencias entre Conjuntos permite establecer que
Todo Conjunto es al mismo tiempo subconjunto de sí mismo.
El conjunto vacío es subconjunto de cualquier Conjunto.
Subconjunto propio
Se dice que el conjunto A es subconjunto propio del conjunto B, si B tiene el mismo al menos un elemento más que conjunto A.
A={2,4,6}
B={2,4,6,8}
Igualdad entre Conjuntos
Se dice que dos conjuntos son iguales si tiene los mismos elementos, es decir, un elemento x que le pertenece al conjunto A también le pertenece a B condición suficiente para que A y B sea iguales.
A={1,2,3}
B={3,2,1}
Conjunto universal
Es aquel que contiene todos los elementos que interesan en una situación determinada. Se puede decir que el conjunto universal es el conjunto de todos los Conjuntos.
Si A={1,2,3,4},B={4,6,8} yC={5,7,9}
Son Conjuntos que interesan entonces un posible conjunto es U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Sin embargo, si se quiere, se puede decir que U= N( el conjunto de todos los números naturales)
OPERACIÓNES ENTRE CONJUNTOS
Unión de Conjuntos
La unión de los Conjuntos A y B es el conjunto formado por todo A, que pertenecen al conjunto B o que pertenecen a los Conjuntos al mismo tiempo.
AUB={x:x E A v x E B}
Intersección entre Conjuntos
La intersección de los Conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B al mismo tiempo.
AΠV={x:xEA N xEB}
Diferencia entre Conjuntos
La diferencia entre los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A, pero pertenecen al conjunto B.
A–B={x:xEAnx£′B}
Complemento de un conjunto
El complemento del conjunto A es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto A pero si pertenece al conjunto universal.
Diferencia simétrica entre Conjuntos
La diferencia simétrica entre los Conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B, pero que no están en los dos al mismo tiempo.
A∆B={x:xE(AUB)^ Xe
Conjunto numéricos
Número naturales
Son aquellos números que se usan para contar, también son usados en operaciones matemáticas y otras más complejas.
N={1,2,3,4,...}
Números enteros
Son aquellos números que incluye a los números naturales, a los números enteros negativos ( los inversos aditivos de los naturales) y el número cero y están representados con la letra Z
Z={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...)
Números racionales
Un número racional es un cociente de dos números enteros : y la palabra racional alude a una parte o un fragmento de algo
Se simboliza con la letra Q
Q={x/ax+b² 0, aE Z, B E a ≠ 0E}
Números irracionales
Son aquellos que no pueden representarse como un número racional, es decir, que no se pueden representar como el cociente de dos números enteros.
Propiedades
Conmutativa
Por lo tanto AUB=BUA
Asociativa
Es decir que dado tres o más Conjuntos tendremos (AUB)=AU(BUC)
Propiedades
Conmutativa
De modo tal que, RΠSΠT= RΠTΠS=TΠRΠS
Asociativa
Es decir que, RΠSΠT=(RΠS)ΠT=RΠ(SΠT(
Distributiva
La unión es distributiva con respecto a la intersección, (RΠS)UT=(RUT)ΠSUT . La intersección de Conjuntos es distributiva con respecto a la unión, (RUS)ΠT=(RΠT)U(SΠT)
Propiedades
La diferencia es distributivo co respecto a la unión: (RUS)-T=(R-T)U(S-T); y a la intersección de Conjuntos: (RΠS)-T=(R-T)Π(S-T)
Propiedades
Asociativa
(A∆B)∆C=A∆(B∆C)
Conmutativa
A∆B=B∆A
Distributiva
Respecto a la intersección: AΠ(B∆C)=(AΠB)∆(AΠC)
propiedades
puesto que el conjunto universal contiene todos los elementos en consideración, y el conjunto vacío no contiene a ninguno, es decir: U^C=∅
El complemento del complemento de A es el propio A: (A^c)= A
la union de un conjunto y su complemento es el conjunto universal AUA^c=U
Un conjunto y su complemento son disjuntos:AꓵA^C=Φ
El complemento de A esta contenido en el complementario de cualquier subconjunto de A: B≤A implica que A^c≤B^c
no importa el ordenen que son presentados los conjuntos entre los cuales se establece la unión, puesto que este orden no altera para nada el conjunto que se genera en base a los elementos comunes entre ambos conjuntos
no importa el orden en que se establezcan las distintas asociaciones entre conjuntos, pues siempre dará como resultado final el mismo conjunto
idempotente
la unión de un conjunto consigo mismo, es el propio conjunto original: A U A= A
Absorción
todo conjunto que establezca una operación de unión con el conjunto vacío, por medio de esta propiedad, dará como resultado el conjunto vacío. A U (AꓵB) = A
La ley de Morgan
siempre y en todo caso, el conjunto complementario de la unión entre dos conjuntos, sera equivalente a la intersección que puede existir entre los cada uno de los complementarios
Distributiva
(AꓵB)=AꓵB
solo que esta se produce respecto a la operación de la intersección, dictando que la unión de un conjunto A con la intersección de un conjunto B y un conjunto C resulta equivalente a la intersección de las respectivas uniones del conjunto A con B y con C.
propiedades
asociativa
(a+b)+c=a+(b+c)
(a.b)c=a(b+c)
conmutativa
a+b=b+a
ab=bc
elemento neutro
a+0=0+a=a para la suma
a1=1a=a para el producto
existe un elemento opuesto para suma, existe un único elemento -a EZ tal que a+(-a)=(-a)+a=0
el producto es distributivo respecto a la suma: a(b+c)=ab+a*c
elementos
relación de pertenencia (E), relación de NO pertenencia (Ɇ)
los objetos que constituyen un conjunto, se representan con minúscula o símbolos que se puedan identificar, se encierran en {} y se separan con comas.
intersección
se define como crear un conjunto con los elementos que tienen en común otro dos conjuntos dados
propiedades
Idempotencia: AꓵA=A
Identidad: Aꓵᴓ=ᴓ, AꓵU=A
Conmutatividad: AꓵB=BꓵA
Asociatividad: Aꓵ (BꓵC)= (AꓵB) ꓵC
Distributivita: AU (BꓵC)= (AUB) ꓵ (AUC)
Aꓵ (BUC)= (AꓵB) U (AꓵC)
A={a,,e,i,o,u)
A={x/P (x)}={x1,x2,x3,...,xn}
diagrama de venn
regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos.
por descripción verbal
enunciado que describe la característica que es común para los elementos. ejemplo: ´´el conjunto de las vocales¨
es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida. la intersección de conjuntos se se denota por el símbolo Π por lo que A=A Π B
propiedades
conmutativa
en la suma y la multiplicación se cumple que sea cual sea el orden de los factores no altera el resultado
asociativa
donde la distribución y agrupación de los productos de como resultado el mismo numero, de manera independiente a su agrupación
cerrada
es decir que el resultado de la suma, resta, multiplicación, división o potenciación de un irracional, siempre sera un numero irracional.
propiedades
asociativa
si se agrupa los diferentes sumandos racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un numero racional
conmutativa
donde en la operación, si el orden de los sumando no cambia
elemento neutro
es una cifra nula la cual si es sumado a cualquier numero racional, la respuesta sera el mismo numero racional.
producto cartesiano
el producto cartesiano de dos conjuntos A y B ES EL CONJUNTO AxB que contiene todos los pares ordenados (a,b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece B