Финансовые потоки

общий метод:

Начисление процентов при дробных периодах:

общий метод:

смешанный метод:

Эффективная ставка (effective percentage rate EPR)

EPR характеризует процентный доход, получаемый инвестором за один год в результате вложения одной денежной единицы по номинальной годовой ставке сложных процентов r при частоте начисления m раз в год.

через n полных лет величина FV может быть определена как:

Непрерывное начисление процентов

Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения выглядел так:

Но так как проценты начисляются непрерывно, то m стремится к бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к:

Различные варианты начисления процентов:

полугодовое начисление:

ежегодное начисление:

непрерывное начисление:

банковский учёт

Дисконтирование

Математическое дисконтирование связано с определением так называемого современного, или приведенного, значения PV на некоторый момент времени, которое соответствует заданному значению FV в другой момент времени.

Определить сумму вклада PV на основе заданной конечной величины в будущем FV через временной период начислений n под заданную простую ставку процентов можно по формуле:

Дисконтный множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма долга в величине наращенной суммы:

Формулы:

Дисконтированное значение будущей суммы вклада по сложной ставке процентов равно:

Если начисление процентов производится m раз в год, то формула примет вид :

где kd –дисконтный множитель (коэффициент приведения) для сложных процентов.

Банковский учет заключается в покупке денежных обязательств, (например, векселя) банком по цене, которая меньше номинальной указанной в ней суммы.

В этом случае говорят, что вексель учитывается и клиент получает сумму:PV = FV - D

В этом случае говорят, что вексель учитывается и клиент получает сумму: PV = FV - D

Банковский учёт. Простая учётная ставка

Банковский учёт. Сложная учётная ставка

Отсюда:

где kд –дисконтный множитель (коэффициент приведения) для простых процентов:

При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, т.к. учетная ставка каждый раз применяется к величине, уменьшаемой на величину дисконта.

Потоки платежей и финансовые ренты

"поток платежей" или "денежный поток" (cash flow - CF).
Каждый отдельный элемент такого численного ряда CF, представляет собой разность между всеми поступлениями (притоками) денежных средств и их расходованием (оттоками) на конкретном временном отрезке проведения финансовой операции.

величина CF может иметь как положительный, так и отрицательный знак.

Количественный анализ денежных потоков, генерируемых за определенный период времени в результате реализации финансовой операции, или функционирования каких-либо активов, в общем случае сводится к исчислению следующих характеристик:

FVn - будущей стоимости потока за n периодов;
РVn - современной стоимости потока за п периодов.

Часто возникает необходимость определения и ряда других параметров финансовых операций, важнейшими из которых являются:

CFt - величина потока платежей в периоде t;
r - процентная ставка;
п - срок (количество периодов) проведения операции.

финансовая рента или аннуитет (англ. annuity).

Поток платежей, все члены которого имеют одинаковое направление (знак), а временные интервалы между последовательными платежами постоянны

При рассмотрении финансовой ренты используются основные категории:

член ренты (Cfr) - величина каждого отдельного платежа;
период ренты (t) - временной интервал между членами ренты;
срок ренты (n) - время от начала финансовой ренты до конца последнего ее периода;
процентная ставка (r) - ставка, используемая при наращении платежей, из которых состоит рента.

Классификация финансовых рент:

В зависимости от периода продолжительности ренты:

годовая рента, представляющая собой ежегодные платежи, (т.е. период ренты равен 1 году);
срочную ренту, при которой период ренты может иметь любую продолжительность (как более, так и менее года).

По числу начислений процентов:

ренты с начислением 1 раз в год;
ренты с начислением т раз в год;
непрерывное начисление.

По величине членов:

постоянные ренты, где величина каждого отдельного платежа постоянна, (т.е. рента с равными членами);
переменные ренты, где величина платежа варьирует, т.е. рента с неравными членами.

По числу членов:

с конечным числом членов (ограниченные ренты), когда число членов ренты конечно и заранее известно;
с бесконечным числом (вечные ренты), когда число ее членов заранее не известно.

По вероятности выплаты:

верные ренты, которые подлежат безусловной выплате, т.е. не зависят не от каких условий, например, погашение кредита;
условные ренты, которые зависят от наступления некоторого случайного события.

По методу выплаты платежей:

обычные ренты, которые на практике встречаются чаще всего, - с выплатой платежа в конце периода ренты (постнумерандо);
ренты, с выплатой в начале периода ренты (пренумерандо).

Базовые элементы финансовых моделей

Деньги

Время

отражают количественные соотношения между денежными суммами, относящимися к различным моментам времени.

Золотое правило бизнеса:

Сумма, полученная сегодня, больше той же суммы, полученной завтра.
Одна и та же сумма денег в различные моменты времени имеет различную ценность. С другой стороны, по отношению к определенным условиям разные суммы денег в различные моменты времени могут быть равноценными в финансово-экономическом смысле.

Характеристики финансовой операции:

n - Срок погашения долга (англ, number of periods) - интервал времени, по истечении которого сумму долга и проценты нужно вернуть. Срок измеряется числом расчетных периодов - обычно равных по длине подинтервалов времени, в конце (или начале) которых начисляются проценты.

PV - текущая стоимость (англ, present value) - исходная сумма или оценка современной величины денежной суммы, поступление которой ожидается в будущем, пересчете на более ранний момент времени;

FV - будущая стоимость (англ, future value) - наращенная сумма или будущая стоимость, т.е. первоначальная сумма долга с начисленными на нее процентами к концу срока ссуды;

I –Процентные деньги (англ. interest- money), называемые часто коротко «проценты», представляют собой абсолютный доход от предоставлении долга.

I = FV-PV

r — процентная ставка (rate of interest ), характеризующая интенсивность начисления процентов за единицу времени.

d – учетная ставка (discount rate), или дисконтный множитель, который показывает, какую долю составляет первоначальная сумма долга в величине наращенной суммы.

Временная и денежная шкалы

временных координат, задание которых сводится к указанию:

начала отсчета, т.е. начального момента времени, по отношению к которому задаются все остальные моменты времени;

единицы измерения, т.е. базового промежутка или единичного периода, служащего для измерения длительности временных промежутков.

Денежная единица — основной элемент национальной денежной системы.

ВРЕМЕННАЯ БАЗА ФИНАНСОВОЙ ОПЕРАЦИИ

В банковской практике разных стран расчетное число дней в году при начислении процентов определяется по-разному: срок ссуды n может быть как целым, так и дробным положительным числом.

В тех случаях, когда срок ссуды менее года, происходит модификация формулы:

а) если срок ссуды выражен в месяцах ( М ),то величина п выражается в виде дроби:

б) если время выражено в днях (t),
то величина n выражается в виде дроби: где T -расчетное число дней в году (временная база).

Типы процентных ставок

Простая процентная ставка – применяется к одной и той же первоначальной сумме долга на протяжении всею срока ссуды, т.е. исходная база (денежная сумма) всегда одна и та же.

Сложная процентная ставка – применяется к наращенной сумме долга, т.e. к сумме, увеличенной на величину начисленных за предыдущий период процентов, – таким образом, исходная база постоянно увеличивается.

Фиксированная процентная ставка – ставка, зафиксированная в виде определенного числа (суммы) в финансовых контрактах.

Плавающая процентная ставка – привязанная к определенной величине, изменяющейся во времени, включая надбавку к ней (маржу), которая определяется целым рядом условий (сроком операции и т.п.). Основу процентной ставки составляет базовая ставка, которая является начальной ветчиной.

Постоянная процентная ставка – неизменная на протяжении всего периода ссуды.

Переменная процентная ставка – дискретно изменяющаяся во времени, но имеющая конкретную числовую характеристику.

При использовании простых ставок процентов, проценты (процентные деньги) определяются исходя из первоначальной суммы долга. Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление процентов.

В финансовых операциях, в силу тех или иных причин, предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки.
В том случае, если на последовательных интервалах начисления процентов n1, n2, n3,..., nm устанавливаются разные процентные ставки r1, r2, r3,..., rm то наращенная сумма может быть определена как

В финансовой практике основная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов. В данной схеме проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;
Последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга.