DERIVADAS
definición
Derivada de una función es la pendiente de la recta tangente al punto donde se ubica x.
La derivada de una función matemática es la razón o velocidad de cambio de una función en un determinado punto
Derivada en un punto f`(xo)
Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.
Gráficamente: La función no tiene cambios bruscos de pendiente ("Sin picos")
Analíticamente:
Si f(x) es derivable en Xo ->es continua en Xo
Función Derivada f`(x)
Estudio de una función a trozos
Continuidad
Punto de desdoble
Desde el punto de desdoble hasta el final del dominio puede ser un punto o más Infinito :
Desde el inicio del dominio puede ser un punto o menos Infinito, hasta el punto de desdoble
Calculamos f`(xo)
Calculamos
Calculamos :
Derivabilidad en Xo
Punto de desdoble
Calculamos :
Calculamos
Si son iguales es derivable en el punto y por tanto en todo su dominio. Si son distintos no es derivable en el punto
Si f(x) es una función derivable f`(x) es la función derivada de f(x)
Reglas de derivación
f(x) = Cte-> f´(x) = 0
f(x)=x ->f´(x) = 1
f(x)= -> f´(x)=
f(x)= -> f´(x) =
Recordamos 1/X^a=X^-a
f(x)= ->f´(x)=
f(x)= -> f´(x)=
f(x)= ->f´(x)=
f8x)= -> f´(x)=
Propiedades
Suma de funciones
Multiplicación de funciones
Dividir funciones
Producto de un número por una función
Composición de funciones. La regla de la cadena
Aplicaciones
Recta tangente en un punto o recta normal en un punto. Uso de la ecuación punto pendiente. Recta tangente Y-Yo= f'(Xo)(X-Xo.). Recta normal Y-Yo=(-1/f'(x))(X-Xo). Al acabar el ejercicio dejar la educación de la forma: Y= mX+n
Crecimiento y decrecimiento.
Si f'(x)>0 -> f(x) crece en Xo
Si f'(x) <0 -> f(x) decrece en Xo
Si f'(x)=0 -> punto máximo o mínimo relativo.
Máximo o mínimo absoluto, son los valores mas altos o mas bajos de la función
Máximo relativo : la función pasa de crecer a decrecer.
Mínimo relativo: pasa de decrecer a crecer
Estudiar: LA CURVATURA. Concavidad y convexidad
Si f'(x)=o y f''(Xo) <0 -> Xo máx. relativo
Si f'(x)=o y f''(Xo) >0 -> Xo min relativo
Pasos cuando preguntan monotonía.
- Calcular la derivada e igualar a cero. Obtener Xo donde se anula la derivada
- Calculamos asíntotas verticales.
Obtener Xo donde hay asíntota - Creamos tabla de valores, con los intervalos desde -Inf hasta Xo y desde Xo hasta +inf.
- Analizamos y rellenamos los signos de f'(x) en cada uno de los intervalos dando valores.
- Si los valores son positivos -> que f(x) es creciente (lo anotamos)
- si los valores son negativos -> que f(x) es creciente (lo anotamos)
- expresamos el resultado:
f es creciente en.....
f es decreciente en....
Estudiar: MONOTONÍA. CRECIMIENTO Y DECRECIEMIENTO
Estudiar Máximos y Mínimos relativos.
- Se analizan los puntos donde la derivada se hace cero en la tabla.
Si decrece y luego crece es un mínimo
Si crece y luego decrece es en máximo
Estudiar: MÁXIMOS Y MINIMOS. EXTREMOS RELATIVOS
Si f''(Xo)> 0 es cóncava Si f''(Xo)< 0 es convexa
Si f''(Xo) =0 punto de inflexión ,si f'''(Xo) distintito de 0
. 10. Hago la segunda derivada y la igualo a cero. 9. creamos la tabla con f'', con los puntos donde se anula la segunda derivada
Estudiar: Recta Tangente y Recta Normal