Diagonalizacion
Matriz simétrica congruente
A simetrica es congruente a B si existe una matriz P --> B = Pᵗ.A.P
A simetrica --> A = Aᵗ
Bᵗ = (Pᵗ.A.P)ᵗ = Pᵗ.A.(Pᵗ)ᵗ = Pᵗ.A.P = B
B tambien es simetrica --> B = Bᵗ
Las matrices simétricas son congruentes a matrices diagonales
Diagonalizacion bajo congruencia
Matriz simetrica (A)| Matriz identidad
Trabajar una vez entre filas y una vez entre columnas hasta
lograr que, en el bloque donde está la matriz A, tengamos una matriz diagonal
Obtenemos Matriz diagonal (D) | Matriz Triangular (Q)
D también es congruente con A
D = Q.A.Qᵗ --> B = Pᵗ.A.P
(P = Qᵗ) P es la matriz que se busca
Forma Cuadratica
F (x, y, z) = A x2 + B y2 + C z2 + 2D x y + 2E x z + 2F y z
F(x) = Xᵗ.A.X
Una forma cuadrática está diagonalizada si no posee términos cruzados
Diagonalización de una Forma Cuadrática
F(x) = Xᵗ.A.X
X = P . Y
F (Y) = Yᵗ. B . Y
A es simétrica y congruente a B que es diagonal
Endomorfismo
Función lineal de un espacio vectorial sobre si mismo
f: v → v
f(u) = λ u
λ∈R, u∈V ∧ u≠0
Si existe al menos un escalar λ de IR que verifique esta expresión para u no nulo, se lo denomina
“Valor propio”
A.[u] = λ[u]
En un endomorfismo definido en un espacio de dimensión n el número máximo de valores propios o de vectores propios es n. Puede no existir ningún valor propio real por lo tanto tampoco existirán los vectores propios.
λ --> Valor propio
u --> Vector propio
(A - λ.I) [u] = 0
u≠0, det(A - λ.I) = 0
SELH con infinitas soluciones
Las raices son los valores propios
S(λ) = Espacio propio relativo al valor propio λ
Diagonalizacion
Diagonalizacion
Diagonalizacion ortogonal
Matriz P Inversible y tal que P⁻¹.A. P =D
La matriz P es la que contiene en cada columna a los vectores propios.
Matriz P Tal que Pᵗ.A. P =D
La matriz P es la que contiene en cada columna a los vectores propios ortonormalizados
Hallar los vectores propios
Hallar los vectores propios
Armar la matriz P con ellos
Analizar si es inversible
P⁻¹.A. P =D
Ortonormalizar
Armar la matriz P con ellos
Pᵗ.A. P =D