Dérivées successives d'une fonction
f est n fois dérivable si il existe une suite finie f0,...,fn d'applications définies sur I tq la dérivée de fi = fi+1
s'applique à la dérivée d'une somme, produit, rapport, composée de fonction
Fonction de classe Cn : f est de classe Cn ssi f est n fois dérivable et fn continue sur I
Si f est continue sur I, alors f est de classe C0
Fonction de classe C∞ : ssi pour tout m >= 0, f est m fois dérivable sur I
Formules de Taylor : permettent d'exprimer certaines fonctions sous la forme de la somme d'un polynôme et d'un reste et d'approcher localement une fonction régulière f
Formule de Taylor-Lagrange : elle généralise l'égalité des accroissements finis ; si il existe un n tq f est n+1 fois dérivable alors il existe c compris entre x0 et x tq :
Polynôme de Taylor : d'ordre n en x0 
Le reste correspond à la quantité f - polynôme de Taylor
Le nombre c dépend de f, x0, x, n; f et x0 sont fixés en général et x et n peuvent varier
On peut obtenir une autre forme de Taylor-Lagrange en écrivant x = x0 + h
Inégalité de Taylor-Lagrange : 
Formule de Taylor-Young : conséquence de Taylor-Lagrange 
La fonction ϵ tend vers 0 quand x tend vers x0
Les conditions sur f sont plus fortes sur Taylor avec reste intégrale que pour Taylor-Lagrange mais la conclusion est aussi précise car le reste est plus connu que pour Taylor-Lagrange
Applications des formules de Taylor : étudier le comportement d'une fonction régulière au voisinage d'un extremum (optimisation)
Condition nécessaire d'ordre 2 et minimum local : Si f est de classe C2 sur I et f possède un minimum local en x0 alors nécessairement f'(x0)=0 et f''(x0)>=0
Condition suffisante d'ordre 2 et minimum local strict : Si f est de classe C2 sur I et f'(x0)>0 alors nécessairement f possède un min local strict en x0
Si f dérivable sur I (intervalle ouvert) et f'(x0)=0 condition nécessaire pour que f atteigne un extremum en x0 de I (Pas une CS)
RQ : f'(x0)=0 et f''(x0)>=0 ne sont pas des conditions suffisantes pour min local 🏴
RQ : f'(x0)=0 et f' change de signe en x0 => f atteint un extremum en x0 🏴