Cálculo Diferencial e Integral I
Conjuntos de números reais.
Naturais (ℕ) por
exemplo, 0,1 ,2, 3, e assim por diante. Lembrando que os números naturais são os inteiros positivos e o número zero.
Subconjunto ℕ* = (1, 2, 3,4,...) ausencia do 0
Número Inteiro (ℤ) Neste caso, temos os números ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3... pertencentes a este conjunto.
Números Irracionais = É composto por todos os números que nao são possíveis de se descrever como uma fração com as raízes não exatas, o número pi entre outros. Esse conjunto não esta contido em nenhum outro ou seja nenhum número irracional é racional inteiro ou natural e vice e versa.
Número Racionais . Com a necessidade de descever parte de algo inteiro, surgiram as frações. Quando adicionamos as frações aos números, obtemos os números racionais.
Funções
Definição = Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação f de A em B recebe o nome de função (ou aplicação) de A em B se, e somente se, para todo x ∈ A existir um só y ∈ B,tal que (x,y) ∈ f.
Por exemplo = F : A -> B (lê-se: f de A em B).
x -> y = F (X) (para cada x há um valor f(x) associado).
Isto significa que uma função é um conjunto de pares ordenados, determinados por uma
sentença, y = f(x) que expressa a correspondência entre as duas variáveis, (x e y).
Função injetora, sobrejetora e bijetora.
Uma função f é dita injetora se, para todo x1∈D(f) e x2∈D(f), com x1≠x2, tivermos
f (x1)≠f( x2).
Isto significa que uma função é injetora quando elementos distintos do domínio estão
associados a elementos distintos do contradomínio.
Pensando no diagrama de flechas, a
condição de injetividade se caracterizapelo fato de nenhum elemento do contradomínio
receber duas flechas.
Definição. Uma função f é dita sobrejetora se, para todo y∈CD(f), existe x∈D(f), tal que y=
f(x). Ou seja, f é sobrejetora se, e somente se, Im(f)= CD(f). No diagrama de flechas de uma função sobrejetora nenhum elemento do contradomínio
fica sem receber uma flecha..Que essa condição de
sobrejetividade não impede que um elemento do contradomínio receba mais do que uma flecha, e assim, uma função pode ser sobrejetora sem que seja injetora.
Definição. Uma função f é dita bijetora se for injetora e sobrejetora simultaneamente.Isso é equivalente a dizer que uma função f: A➙B é bijetora se, e somente se, para qualquerelemento y∈B, existe um único elemento x∈A tal que f(x)= y.
Uma função bijetora representa uma relação biunívoca, também conhecida como relação
um-a-um, entre o domínio e o contradomínio.
Limites
É usado para descrever o comportamento de uma função.
São a base de cálculo.
Definição = Se f é uma função definida em um intervalo aberto contendo a (com a possível
exceção em x = a),e seja L um número real, escrevemos . Isto significa que para todo ε>0, existe um número δ>0 , tal que |f(x)-L|<ε se 0<|x-a|<δ.
Limites laterais = Dizemos que o limite da função f é L quando x tende a a pela direita, desde que tomemos
os valores de x suficientemente próximos de a (mas maiores do que a)Simbolicamente,
escrevemos .
Derivadas de Ordens Superiores e Derivação Implícida.
Por definição, a derivada f ' de uma função f é uma nova função que pode ter sua própria
derivada. Definição. Seja f uma função derivável. Se f ' também for derivável, então a sua derivada
é chamada de derivada segunda de f e é representada .
Por f "(x) .
Derivação implícita
A curva cúbica x3 + y3 + 4xy é conhecida como Folium de Descartes. Utilizando
a derivação implícita podemos determinar a equação da reta tangente a essa curva no ponto
(-2, -2):
FUNÇÕES PARAMÉTRICAS
Se as funções x = x(t) e y = y(t) são contínuas quando t varia de a até b, então o ponto P(x(t),y(t))
descreve uma curva no plano.
Neste caso, as equações x = x(t) e y = y(t) são chamadas de equações paramétricas da
curva e t é chamado de parâmetro.
Equação paramétrica da reta
A equação cartesiana de uma reta que passa pelo ponto (a,b) com inclinação m é dada por:
y - b = m.(x-a)
DERIVADAS DE FUNÇÕES
PARAMÉTRICAS
Uma curva parametrizada x = f(t) e y = g(t) é derivável em t se f e g forem
deriváveis em t. Em um ponto em que uma curva parametrizada derivável em que y também é uma função derivável de x.