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Unidad 1, Segura Diaz Angel Daniel, Metodos numericos 2, Grupo: 2401 -…
Unidad 1
Sistemas de ecuaciones no lineales
Metodos de Newton
Metodo de Newton-Raphson
Ventajas
Reduaccion a sistema lineal
Convergencia cuadratica
Desventajas
Obtención de las
ecuaciones gi
Calculo de jacobiana e inversa
Posible divergencia si se inicia con valores lejanos
Costoso en evaluaciones
n^2 + n
Generalizacion de Newton-Raphson
Forma matricial
Matriz jacobiana
Utilizacion de derivadas parciales
X(k+1) = Xk - J(Xk)^-1 F(Xk)
Punto inicial
Deduccion por serie de Taylor
Metodo de Newton modificado
Ventajas
No se calcula la Jacobiana ni inversa
Solo 2n Evaluaciones
Desplazamientos simultanoes o sucesivos
Generalmente converge con valores cercanos
Desventajas
Puede diverger con desplazamientos sucesivos
Puede diverger y converger para una u otra variable
No se sabe cuando convergera
Falla si una parcial es cero
Evita el calculo de la Jacobiana
Aplicacion del metodo de Neton univariable
Las variables se consideran fijas
Derivada parcial de Fi con respecto a xi
Desplazamientos sucesivos
Utilizacion de valores ya calculados
Orden de las ecuaciones afecta laconvergencia
Metodo de Broyden
Ventajas
n evaluaciones necesrias
Reemplaza la matriz Jacobiana inversa
Disminuye el número de cálculos para la
inversa O(n^2)
Convergencia superlineal
Desventajas
O(n^3) calculos
No es autocorregible
Perdida de convergencia cuadratica
Generalización del método de la secante.
Solventar el calculo de la derivada
Forma matricial
A1(X1-X0) = F(X1) - F(X0)
Para calcular X2 en adelante se sustitiye la Jacobiana
Para obtener X3
Teorema de Serman Morrison
Aproximacion de la inversa
Eliminar la necesidad de invertir la matriz
Inicio con dos valores iniciales
Primera aplicacion con metodo de Newton
Metodo del punto fijo
Ventajas
Convergencia lineal
Desventajas
Velociadad dependiente del sistema
No existe forma de determinar valores iniciales
Obtencion de formas iterativas
Cada ecuación resulve una variable
X^(k+1) = G(X^k)
Se despeja la ecuacion Fi para la variable xi
Vector inicial
Generalización del
método de Jacobi.
Iteraciones sucesivas
Calculada la estmación esta se usa
No siempre
representa una mejora.
Las funciones deben ser continuas
Orden de las eccuaciones afecta la convergencia
Segura Diaz Angel Daniel
Metodos numericos 2
Grupo: 2401