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微積分 - Coggle Diagram
微積分
積分
概念
無窮數列的極限
主題一無窮數列 1.無窮數列：一數列如果有無窮多項，就稱為無窮數列。 ∞ = 表示之。 n n - ∞ = 。 = ，讀作「當n 趨近於無限大時， n a 的極限為α 」。
無窮數列的收斂與發散
如果一個級數是收斂的，這個級數的項一定會趨於零。因此，任何一個項不趨於零的級數都是發散的。
無窮極限的運算性質
如果一個函數在某一點附近大於等於0，並且在趨於這一點時有極限，那麼極限也大於等於0。
夾擠定理
指出若有兩個函數在某點的極限相同，且有第三個函數的值在這兩個函數之間，則第三個函數在該點的極限也相同。
公式
不定積分
不定積分是指任何滿足導數是函數一個函數的不定積分不是唯一的不定積分，那麼與之相差一個常數的函數也是的不定積分
定積分
積分是微積分學與數學分析裏的一個核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種。
應用
游泳池是卵形、拋物型或更加不規則的形狀，就需要用積分來求出容積。
微分
公式
導函數定義
函數f(x)在定義域內的每一導數f′(x)，每一點x對應到f′(x)有一個新的對應的函數關係。我們稱f′(x)為f(x)的導函數
微分公式
設f(x)、g(x)、h(x)均為可微分函數，k為實數n為正整數
導數定義
導數的本質是通過極限的概念對函數進行局部的線性逼近。
連鎖律
設h(x)=g(f)(x))，且g′(f(x))、f′(x)均存在，h′(x)=g′(f(x))Xf′(x)
導數的幾何定義
以P(a，f(a))為切點的切線斜率為f′(a)，切線方程式為y-f(a)=f′(a)(x-a)
高階導數與導函數
二階導函數
f'(a)=lim f(x)-f(a)/x-a
x=a f"(a)=lim f'(x)-f'(a)/x-a
導數與運動學
t=b 平均速度 導數f'(a)=lim f(t)-f(a)/t-a 瞬時速度
t=b 平均加速度 導數u'(a)=lim f(t)-f(a)/t-a 瞬時加速度
應用
極小值、極大值定義
f(c)>=f(x)又稱f(c)為相對極大值
f(c)<=f(x)又稱f(c)為相對極小值
最小值、最大值定義
都滿足f(e)>=(x)又稱f(e)惟絕對極大值
都滿足f(e)<=(x)又稱f(e)惟絕對極小值
函數遞增與遞減
f'(c)>0遞增函數
f'(c)<0 遞減函數
集值點
c是[a.b]若f(c)x=c可微分f(x)
在x=c處有極值 則f'(c)=0此稱x=c為極值點
函數圖形的凹向性
(1)若f"(x)>0則函數f(x)的圖形為凹向上
(2)若f"(x)<0則函數f(x)的圖形為凹向下
反曲點
（c,f(c)為f(x)的反曲點
極值的求法
(1)極大值：若f"(c)<0則表示圖形在x=c處凹向下 即f(c)為極大值
(2)極小值：若f"(c)>0則表示圖形在x=c處凹向上 即f(c)為極小值
概念
性質
如果f是線性映射，那麼它在任意一點的微分都等於自身。
右極限與左極限
若x從a的右邊逐漸趨近(x>a)，使得f(x)也逐漸趨近於定數L則稱f(x)的右極限為L
若x從a的左邊逐漸趨近(x<a)，使得f(x)也逐漸趨近於定數K則稱f(x)的左極限為K
定義
是指對函數的局部變化的一種線性描述。微分可以近似地描述當函數自變量的取值作足夠小的改變時，函數的值是怎樣改變的。
極性存在
當左極限等於右極限，則極限存在
夾擠定理
設三函數f(x)、h(x)、g(x)，若對所有x皆滿足h(x)<f(x)<g(x)，且limh(x)=limg(x)=a，則limf(x)=a
連續函數
函數f(x)在定義域中的每一個都連續時，則稱f(x)為連函數
積分單元
7-1
無窮數列的極限
極限
an收斂到α，α稱為an的極限，記作lim an=α
收斂與發散
給定一個等比例數列rn
運算性質
兩無窮數例列(an)及(bn)分別收斂於α、β
夾擠定理
所有正數n接滿足an≤bn≤cn，且(an)、(cn)皆收斂至α
7-2
多項函數的積分
反導函數
F(X)=f(x)，則稱F(X)為f(X)的反倒函數(不定積分)
記作f(x)dx=F(x)+c，其中c為實數
代換積分法
f(g(x).g(x)dx=f(u)du，其中u=g(x)為可微分函數
微積分基本定理
設f(x)在區間{a，b}為連續函數，F(x)的\導函數是F(x)=f(x)