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Espaces vectoriels, Famille libre, Familles génératrices, Sous-espaces…
Espaces vectoriels
triplet (E,+,.) sur K(R ou C) : un ensemble, loi interne, loi externe
scalaire : élément de K, vecteur : élément de E
jamais vide, contient le vecteur nul, élément neutre de la somme
Base canonique : la famille des n vecteurs de Rn tq toutes les composantes de chaque vecteur sont nulles sauf la ième qui vaut 1
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Combinaison linéaire : v de E CL de la famille (ui) s'il existe sous-famille et scalaires tq v = λ1u1+...+λnun
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Famille libre
U famille de vecteurs de E, U libre si la CL des vecteurs nulle implique coefficients nuls
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Si famille pas libre, elle est liée
Par convention, une famille vide est libre
U famille de p vecteurs de Kn, A matrice associée à cette famille, R réduite de Gauss de A : la famille est libre ssi R a p pivots
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(u,v) libre ssi u et v non colinéaires
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Familles génératrices
Vect[(1,0),(0,1)] = R2 (base canonique)
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Famille génératrice minimale s'il est impossible de lui retirer un vecteur sans lui ôter son caractère générateur
Vect[(xi)] l'ensemble des combinaisons linéaires de la famille (xi)
Si F = Vect[(xi)] alors la famille (xi) engendre F
U famille de p vecteurs de Kn, A matrice associée à cette famille, R réduite de Gauss de A : la famille est génératrice ssi R a n pivots
Sous-espaces vectoriels : F partie de E, F est sev de E si F non vide et F stable par combinaison linéaire (λx+y dans F)
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A matrice de Mn,p(K), ker A (ensemble des solutions du système linéaire homogène associé à A) est un sev de Kp
L'intersection de sev est un sev, l'union de 2 sev est un sev si l'un est inclu dans l'autre