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CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN RLC, EJERCICIO Teniendo R=40Ω , L=4H y …

- - - - Determinación de valores iniciales y finales
        
        El principal problema al manejar circuitos de segundo orden es la determinación de las condiciones iniciales y finales de la variables de circuitos.
        
        Los valores inicial y final de v e i, pero a menudo tienen dificultades para determinar los valores iniciales de sus derivadas: y di/dt. Por tal razón, esta sección se dedicará explícitamente a las sutilezas de la obtención de v(0),i(0),dv(0)dt,di(0)dt,i(α) v(α).
        Donde v es la tensión y i es la corriente del inductor
        
        Segundo, tenga presente que la tensión del capacitor siempre es continua, de modo que
        v(0+)= v(0-)
        Y que la corriente del inductor siempre es continua, de modo que
        i(0+)= i(0-)
        Donde denota el momento justo antes de un evento de conmutación y es el momento justo después del evento de conmutación, suponiendo que éste tiene lugar en t=0.
- - - - Resolviendo las ecuaciones diferenciales de segundo orden encontrando los valores iniciales y encontrando la ecuación característica
        
        S1=-α+√(α^2-ω_0^2 ) ,S2=-α-√(α^2-ω_0^2 )
        
        Donde Las raíces y se denominan frecuencias naturales, medidas en nepers por segundo (Np/s), porque se asocian con la respuesta natural del circuito; se conoce como frecuencia resonante, o más estrictamente como frecuencia natural no amortiguada, expresada en radianes por segundo (rad/s). [1]
        
        En términos de α y ω, puede escribirse como
        s^2+2αs+ω_0^2=0
        Los dos valores de s indican que hay dos posibles soluciones para i, cada una de las cuales es de la forma de la supuesta solución en la ecuación
        
        i1=A1e^s1t , i2=A2e^s2t*
        
        Cualquier combinación lineal de las dos distintas soluciones e también es una solución de la ecuación una combinación lineal de i1 e i2 . Así, la respuesta natural del circuito RLC en serie es
        i(t)=A1e^s1t + A2e^s2t
        donde las constantes y se determinan a partir de los valores iniciales
        de i(0) y di(0)/dt
        
        Hay tres tipos de soluciones:
        
        Si α>ω_(0 ) se tiene el caso sobre amortiguado.
        
        Si α=ω_(0 ) se tiene el caso críticamente amortiguado.
        
        Si α<ω_(0 ) se tiene el caso subamortiguado
        
        Caso sobre amortiguado α>ω_(0 )
        Implica que C>4L/R^2 . Cuando esto sucede, las raíces s1 y s2 son negativas y reales. La respuesta es:
        i(t)=A1e^s1t + A2e^s2t
        la cual decrece y tiende a cero al aumentar t.
        
        Caso críticamente amortiguado α=ω_(0 )
        Cuando C=4L/R^2
        s1=s2=-α=-R/2L
        ∴tenemos por resultado i(t)=A1e^(-αt)+A2e^(-αt)=A3e^(-αt)
        Así, la respuesta natural del circuito críticamente amortiguado es una suma de dos términos: una exponencial negativa y una exponencial negativa multiplicada por un término lineal, o sea
        i(t)=(A2+A1t) e^(-αt)
        Una constante de tiempo, y después decrece hasta cero.
        
        Caso subamortiguado α<ω_(0 )
        Cuando C<4L/R^2, las raices se pueden escribirse como :
        S1=-α+√(-(ω_0^2 - α^2 ) )=-α+jωd
        s2=-α+√(-(ω_0^2 - α^2 ) )=-α-jωd
        Donde j=√(-1) y ωd=√((ω_0^2 - α^2 ) ) , la cual se llama frecuencia de amortiguamiento, despues usando identidades de euler y al remplazar las constantes (A1+A2) y (A1-A2) por las constantes B1 y B2 se escribe:
        i(t)=e^(-αt) (B1 cos⁡ ωdt + B2 sen⁡ωdt)
        Con la presencia de las funciones seno y coseno, es claro que la respuesta natural para este caso está amortiguada exponencialmente y es de naturaleza oscilatoria.
        
        Puesto que i=Ae^st se obtuvieron de la ecuación diferencial donde A y s son constantes por determinar mediante la ecuación característica y tenemos lo siguiente
- - - - Se obtiene la ecuación característica remplazando la primera derivada por s y la segunda derivada por s^2 y tenemos las raíces
        s1,2=-α± √(α^2-ω_0^2 )
        Donde
        α=R/2LC , ω_0=1/√LC
        
        Los nombres de estos términos son los mismos pues desempeñan el mismo papel en la solución. De nueva cuenta, hay tres posibles soluciones:
        
        Caso críticamente amortiguado α=ω_(0 )
        Cuando L=4R^2 C . Las raíces son reales e iguales, así que la respuesta es:
        v(t)=(A2+A1t) e^(-αt)
        
        Caso subamortiguado α<ω_(0 )
        Y cuando L<4R^2C . En este caso las raíces son complejas y pueden expresarse como: s1,2=-α± jωd
        ∴tenemos por resultado v(t)=e^(-αt) (A1 cos⁡ ωdt + A2 sen⁡ ωdt)
        
        Caso sobre amortiguado α>ω_(0 )
        Cuando L>4R^2 C . Las raíces de la ecuación característica son reales y negativas. La respuesta es:
        v(t)=A1e^s1t + A2e^s2t
- - - - La respuesta transitoria v1(t) es el componente de la respuesta total que se extingue con el tiempo.
        La forma de la respuesta transitoria es igual a la de la
        solución obtenida para el circuito sin fuente
        
        En consecuencia, la respuesta transitoria v1(t)
        de los casos sobre, sub y críticamente amortiguado es:
        
        v1(t)=A1e^s1t+A2e^s2t -- (Sobreamortiguado)
        v1(t)=(A2+A1t) e^(-αt) -- (Críticamente amortiguado)
        v1(t)= (A1 cos⁡ ωdt + A2 sen⁡ ωdt) e^(-αt) -- (Subamortiguado)
        La respuesta en estado estable es el valor final de v(t). En el circuito, el valor final de la tensión del capacitor es igual que el de la tensión de fuente Vs . Por lo tanto,
        v_ss(t)=v(∝)=Vs
        
        Así, las soluciones completas de los casos sobre, sub y críticamente amortiguado son:
        v(t)=Vs+A1e^s1t+A2e^s2t -- (Sobreamortiguado)
        v(t)=Vs+(A2+A1t) e^(-αt) -- (Críticamente amortiguado)
        v(t)=Vs+ (A1 cos⁡ ωdt + A2 sen⁡ ωdt) e^(-αt) -- (Subamortiguado)
        
        Los valores de las constantes A1 y A2 se obtienen de las condiciones iniciales: v(0) y dv(0)/dt. Tenga en cuenta que v e i son la tensión a través del capacitor y la corriente a través del inductor, respectivamente
        
        Pero una vez conocida la tensión del capacitor vc=v , se puede determinar i=Cdv/dt, lo que es lo mismo que la corriente a través del capacitor, el inductor y el resistor
        
        Así pues, la tensión a través del resistor es v_r=iR, mientras que la tensión del inductor v_L=Ldi/dt.
        
        Alternativamente, la respuesta completa para cualquier variable x(t) puede hallarse en forma directa, porque tiene la forma general
        x(t)=x_ss(t)+x_t(t)
        
        Donde x_ss=x(∝) es el valor final, y x_t(t) la respuesta transitoria
- - - - La respuesta
        forzada es el valor final de i, el valor final de la corriente a través del inductor es igual que el de la corriente de fuente Is. Así,
        
        i(t)=Is+A1e^s1t+A2e^s2t -- (Sobreamortiguado)
        i(t)=Is+(A2+A1t) e^(-αt) -- (Críticamente amortiguado)
        i(t)=Is+ (A1 cos⁡ ωdt + A2 sen⁡ ωdt) e^(-αt) -- (Subamortiguado)
        Las constantes A1 y A2 pueden determinarse en cada caso a partir de las condiciones iniciales de i y di/dt
        
        Pero una vez conocida la corriente del inductor i_L=i , se puede v=Ldi/dt hallar lo cual es lo mismo que la tensión a través del inductor, el
        capacitor y el resistor
        
        Así, la corriente a través del resistor es i_R=v/R, mientras que la corriente del capacitor es i_C=Cdv/dt .
        
        Alternativamente, la respuesta completa para cualquier variable x(t) puede hallarse de manera directa,
        usando: x(t)=x_ss(t)+x_t(t)
        Donde x_ss y x_t son su valor final y su respuesta transitoria, respectivamente.