CIRCUITOS RLC
Definición
Los circuitos de segundo orden son aquellos compuestos por resistencias y 2 elementos que almacenan energía eléctrica (bobinas y/o capacitores). Presentan una serie de particularidades dependiendo de la combinación de los elementos pasivos y de sus valores.
Valores iniciales y finales
Es importante recordar que la bobina se opone a cambios bruscos en la su corriente, y el capacitor a cambios bruscos en su voltaje. Considerando que un interruptor en un circuito de segundo orden conmuta en un t=0, podríamos indicar que i(0−)=i(0+) y v(0−)=v(0+).
Partiendo de esto, el análisis para encontrar las condiciones iniciales de un circuito de segundo orden (CSO) debe partir de las variables de estado i(t) y v(t).
Ejemplo:
Consideremos ahora el siguiente circuito en el cual el interruptor ha estado abierto desde hace mucho tiempo:
Se debe encontrar i(0+),v(0+),i(∞),v(∞),di(0+)/dt,dv(0+)/dt. Por lo tanto, iniciamos con las condiciones iniciales de las variables de estado:
Para t<0 tendríamos el siguiente circuito:
Es muy claro que i(0−)=2A y v(0−)=4V.
Para el instante en que se cierra el interruptor, o sea en t=0+ el circuito será el siguiente:
Acá debemos recordar la condiciones que dicen que i(0−)=i(0+) y v(0−)=v(0+), por lo tanto ya tenemos las respuestas de las primeras condiciones iniciales: i(0+)=2A y v(0+)=4V.
Ahora, para las condiciones iniciales de las derivadas, hacemos uso de las Leyes de Kirchhoff.
LCK: i=iC+v2⇒i=Cdv/dt+v2
Como estamos en el instante de t=0+, i(0+)=Cdv(0+)dt+v(0+)2. Reordenando y sustituyendo con los valores iniciales obtenidos, tendríamos que: dv(0+)dt=0V/s.
LVK: 24=vL+v⇒24−v(0+)=Ldi(0+)dt
Despejando tendríamos que: di(0+)dt=50A/s.
Por último, para las condiciones finales tendríamos el siguiente circuito:
Circuito RLC en serie sin fuente
Este circuito se excita con la energía inicialmente almacenada en el capacitor y el inductor. Tal energía está representada por la tención inicial del capacitor Vo y la corriente inicial del inductor Io:
Determinamos la
corriente en el inductor
Si derivamos y ordenamos nos queda
Para poder resolver esta ecuación es necesario conocer el valor de i(0) y de su primer derivada y tenemos
Proponemos como solución una función exponencial
Ecuación característica
𝜔0 se la conoce como frecuencia resonante o frecuencia natural no amortiguada medida en (rad/s),
S1 y S2 se denominan frecuencias naturales en (Np/s) porque se asocian a las respuestas naturales del circuito.
𝛼 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 medida en (Np/s) segundo.
Los dos valores de “ S ”, indican que hay dos posibles valores para la corriente.
Si el Discriminante es mayor que cero, se
tiene dos raíces reales y distintas.
RESPUESTA SOBREAMORTIGUADA
RESPUESTA CRITICAMENTE
AMORTIGUADA
Si el Discriminante es menor a cero, se
obtienen dos raíces complejas conjugadas.
RESPUESTA CRITICAMENTE
AMORTIGUADA
Si el Discriminante es menor a cero, se
obtienen dos raíces complejas conjugadas.
RESPUESTA SUBAMORTIGUADA
Caso Subamortiguado
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵1 y 𝐵2, 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎𝑟𝑏𝑖𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑑𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝒊 𝒕 𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒, 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 escribir lo siguiente:
𝜔𝑑 frecuencia natural amortiguada
Formula de Euler
RLC en paralelo sin fuente
Aplicando LCK, tendríamos que
Al derivar esta expresión, junto con dejar la segunda derivada con coeficiente y utilizando la LFB, nos quedaría la siguiente ecuación diferencial de orden 2:
Vamos a usar una herramienta que nos va a facilitar este proceso. Esta herramienta se conoce como operador s. Dicho operador tiene la forma nos sirve para sustituir el operador de las derivadas por un elemento más "amigable".
Las raíces de esta ecuación cuadrática serían, siendo su expresión equivalente:
donde
Por otro lado, las características de la respuesta también dependerán de la relación que hay entre α y ω0.
caso sobreamortiguano (α >ω0)
caso críticamente amortiguado (α =ω0)
caso suba-amortiguado (α <ω0)
donde
los valores de las constantes A1, A2, B1 y B2 se determinan con las condiciones iniciales del sistema.
Respuesta escalón de un circuito RLC
en serie
Ejercicio
la respuesta de escalón se obtiene de la aplicación súbita de una fuente de cd.Al aplicar la LTK a lo largo la malla para t > 0,
Al sustituir i en la ecuación y reordenar términos,
La solución de la ecuación tiene dos componentes: la respuesta
transtoria y la respuesta en estado estable esto es,
La respuesta transitoria es el componente de la respuesta total que se extingue con el tiempo. La forma de la respuesta transitoria es igual a la de la solución obtenida para el circuito sin fuente,la respuesta transitoria de los casos sobre, sub y críticamente amortiguado es:
el valor final de la tensión del capacitor es igual que el de la tensión de fuente . Por lo tanto,
Los valores de las constantes y se obtienen de las condiciones iniciales: y Tenga en cuenta que v e i son la tensión a través del capacitor y la corriente a través del inductor, respectivamente. Por consiguiente, la ecuación sólo se aplica para determinar v. Pero una vez conocida la tensión del capacitor , se puede determinar lo que es lo mismo que la corriente a través del capacitor, el inductor y el resistor. Así pues, la tensión a través del resistor es mientras que la tensión del inductor es Alternativamente, la respuesta completa para cualquier variable x(t) puede hallarse en forma directa, porque tiene la forma general donde es el valor final, y la respuesta transitoria. El valor final. La respuesta transitoria tiene la misma Forma que en la ecuación, y las constantes asociadas se determinan con base en los valores de x(0) y dx(0)/dt.
Respuesta de escalón de un circuito
RLC en paralelo
Interesa hallar la i debida a la aplicación repentina de una corriente de cd. Al aplicar la LCK al nodo superior para t > 0,
PERO
Al sustituir v en la ecuación y dividir entre LC se obtiene
La solución completa de la ecuación consta de la respuesta natural y la respuesta en forzada esto es,
El valor final de la corriente a través del inductor es igual que el de la corriente de fuente Así,
Alternativamente, la respuesta completa para cualquier variable x(t) puede hallarse de manera directa,usando
donde son su valor final y su respuesta transitoria, respectivamente.
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE COTOPAXI
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA Y APLICADAS
INGENIERÍA EN ELECTRICIDAD
TECNOLOGÍA Y MÉTODOS AVANZADOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
TEMA: CIRCUITOS RLC
NOMBRE: LENIN MOSQUERA
BIBLIOGRAFIA
[1] “1. Respuesta natural de un circuito RLC en paralelo Respuesta escalón de un circuito RLC en paralelo PDF Free Download.” https://docplayer.es/185071036-1-respuesta-natural-de-un-circuito-rlc-en-paralelo-respuesta-escalon-de-un-circuito-rlc-en-paralelo-7-15.html (accessed Feb. 20, 2022).
[2]“La respuesta natural de un circuito RLC en paralelo – definición y ejemplos – dademuchconnection.” https://dademuch.com/2020/05/19/la-respuesta-natural-de-un-circuito-rlc-en-paralelo-definicion-y-ejemplos/ (accessed Feb. 20, 2022).
[3]C. Alexander and M. Sadiku, “Circuitos magnéticamente acoplados,” Fundamentos de circuitos eléctricos, pp. 573–577, 2006.
[4]“CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN”.