Distribuciones de Probabilidad Continuas
Probabilidad Normal
Probabilidad Uniforme
Distribución de Probabilidad Normal Estándar
La distribución más simple de una variable aleatoria continua.
Es:
Esta tiene forma rectangular y está definida por valores mínimos y máximos.
Donde:
Fórmula
Media
Desviación Estandár
También cuenta con:
Representada como:
Representada como:
Fórmula de Distribución Uniforme
De esta manera también tenemos:
La distribución normal es un modelo teórico capaz de aproximar satisfactoriamente el valor de una variable aleatoria a una situación ideal.
Características
Tiene forma de campana y posee una sola cima en el centro de la distribución.
La media aritmética, la mediana y la moda son iguales, y se localizan en el centro de la distribución.
El área total bajo la curva es de 1.00.
La mitad del área bajo la curva normal se localiza a la derecha de este punto central, y la otra mitad, a la izquierda.
Es simétrica respecto de la media.
Si hace un corte vertical por el valor central a la curva normal, las dos mitades son imágenes especulares.
La distribución es asintótica.
Las colas de la curva se extienden
indefinidamente en ambas direcciones.
La dispersión (o propagación) de la distribución se determina por medio de la desviación estándár.
Fórmula
Representada de la siguiente manera:
Cualquier distribución de probabilidad normal puede convertirse en una distribución de probabilidad normal estándar.
De esta manera se establece
Los resultados reciben el nombre de valores z o valores tipificados.
Valor z
Donde
Distancia con signo entre un valor seleccionado, designado x, y la media ( m) dividida entre la desviación estándar.
Nos dice que
El valor z es la distancia de la media.
Medida en unidades de desviación estándar.
De esta manera
Que se encuentra
Fórmula
Donde:
x
μ
σ
Valor de cualquier observación y medición.
Es la media de la distribución.
La desviación estándar de la distribución.
Donde es:
Donde es:
Donde es:
Representada de la siguiente manera:
Aplicaciones
Determina probabilidades para cualquier variable aleatoria normalmente distribuida.
A partir de que:
Implementada a través de:
Los ingresos semanales de los supervisores de turno de la industria del vidrio se rigen por una distribución de probabilidad normal con una media de 1.000 dólares y una desviación estándar de 100 dólares.
Supongamos que:
Planteamiento
Cuestionamientos
De esta manera se tiene:
¿Cuál es el valor z del ingreso x de un supervisor que percibe 1.100 dólares semanales?
¿Y el de un supervisor que gana 900 dólares semanales?
Resolución
De acuerdo con la fórmula.
Se tiene:
Donde:
x = 1.100
Se tiene:
x = 900
$1.100 - $1.000 /$100
$900 - $1 000 / $100
1.00
1.00
Interpretación
El valor z de 1.00 indica que un ingreso semanal de 1.100 dólares
Una desviación estándar por encima de la media.
De esta manera:
Que se encuentra:
La Regla Empírica
1
Establece que:
2
3
Aproximadamente 68% de las observaciones caerán entre más y menos una desviación estándar de la media.
Aproximadamente 95% de las observaciones caerán entre más y menos dos desviaciones estándar de la media.
Prácticamente todas, o 99.7% de las observaciones caerán entre más y menos tres desviaciones estándar de la media.
De esta manera:
Adapta una variable aleatoria a una función que depende de la media y la desviación típica.
Por consiguiente:
Cuenta con las siguientes:
Representada de la siguiente manera:
Ejemplo
La south west Arizona State University proporcion servicio de autobús a los estudiantes mientras se encuentran en el reciento.
Entre semana un autobús llega a la parda de North Main Street y College Drive cada 30 minutos, desde las 6:00 hasta las 23:00.
Supongamos que:
Planteamiento
Entonces tenemos que:
Los estudiantes llegan a la parada en tiempos aleatorios.
El tiempo que espera un estudiante tiene una distribución uniforme de 0 a 30 minutos.
Donde:
De esta manera:
Cuestionamientos
¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante espere más de 25 minutos?
¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante espere entre 10 y 20 minutos?
Resolución
Cuestionamiento 1
Cuestionamiento 2
El área dentro de la distribución en el intervalo de 25 a 30 minutos representa esta probabilidad en particular.
P(25 , tiempo de espera , 30) = (altura)(base) = 1 / (30 - 0) (5) = **0.1667 *
De esta manera:
De esta manera tenemos:
P(10 , tiempo de espera , 20) = (altura)(base) = 1 / (30 - 0) (10) =0.3333