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Suite et récurrence (p12) - Coggle Diagram
Suite et récurrence (p12)
Raisonnement par récurrence
Théorème
Principe du raisonnement par récurrence
Soit P(n) une propriété dépendant d'un entier naturel n. On suppose :
P(n0) est vrai
Pour tout entier naturel n fixé,si P(n) est vraie, alors p(n+1) est vraie.
Alors pour tout entier naturel n, P(n) est vraie
Principe de raisonnement par récurrence à partir d'un certains rang
Soit n0 appartenant à N et P(n) une propriété définie pour n>n0 . On suppose :
P(n0) est vrai
Pour tout entier naturel n>=n0 fixé,si P(n) est vraie, alors p(n+1) est vraie.
Alors pour tout entier naturel n>=n0, P(n) est vraie
Remarque
Pour démontrer par récurrence qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier naturel n>=n0, On procède par 3 étapes
1 - Initialisation : On vérifie que la propriété est vraie pour n=n0
2- Hérédité : Soit n un entier naturel tel que n>=n0. On suppose que la propriété P(n) est vraie pour tout entier naturel n>=n0
3- Conclusion : On conclu que P(n) est vraie pour tout les entiers naturel n>=n0
Propriété
Inégalité de Bernoulli
Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier naturel n : (1+a)^n >= 1+na
Limite d'une suite
Définiton
Suite divergeant vers l'infini
lim u(n)=+infini ; x-> +infini
lim u(n)=-infini ; n->+infini
Suite convergenant vers un nombre réel
lim u(n)=l ; x->+infini
Propriété
Unicité de la limite
Lorsqu'elle existe, la limite est unique
Remarque
Une suite qui ne converge pas,diverge. elle peut soit diverger vers +infini ou -infini, soit n'avoir pas de limite.
Propriétés des limites
Limites des suites de référence
limite d'une somme et d'un produit
Soit u(n) et v(n) deux suite et l et l' deux réel
limite d'un quotient
Soit u(n) et v(n) deux suite et l et l' deux réel
Limite et comparaison
Théoreme
Théoreme de Comparaison
Soit U(n) et v(n) deux suites.On suppose qu'il existe un entier n0, tel que n>n0, u(n) > v(n).
Si lim U(n) = +infini alors lim v(n) = +infini.
Si lim U(n) = -infini alors V(n)=-infini
Théoreme des gendarmes
Soit U(n),V(n),W(n) trois suites, et l un réel. On suppose que :
Il existe un entier naturel n0, tel que pour tout eniter n>=n0, v(n)<u(n)<w(n)
lim v(n) = lim w(n) = l ; Alors la suite U(n) converge et lim u(n) = l
Propriété
Soit u(n) et v(n), deux suites convergentes. On suppose qu'il existe un entier naturel n0, tel que pour tout entier n>= n0, u(n)<v(n). ALORS lim u < lim v
Suites géometriques et suites monotones
Propriété
Soit q un réel.
Si q<1, alors lim q^n=+infini ; n ->+infini
Si q=1, alors lim q^n = 1; n-> 1
Si -1<q<1 alors lim q^n=0; n->+infini
Si q<=-1 alors la suite (q^n) n'a pas de limite
Convergence d'une suite monotone
1 - Toute suite croissante majorée converge
2- Toute suite croissante non majorée diverge vers +infini
3 - Toute suite décroissante minorée converge
4- Toute suite décroissante non minorée diverge vers -infini
Définition
Suite majorée,minorée,bornée
Soit U(n) une suite définie à partir du rang k
On dit que u(n) est majorée s'il existe un réel M tel que pour tout entier n>=k, u(n) >=M.
On dit que u(n) est minorée s'il existe un réel m tel que pour tout entier n>k, u(n)>=m
On dit que u(n) est bornée si u(n) est majorée et minorée
