Dérivation et Convexité
Composée d"une fonction u par une fonction v (p140)
Dérivée d'une fonction composée
Convexité d'une fonction
Fonction convexe et dérivées première et seconde
Tangente et point d'inflexion
Definition
Composition d'une fonction y par une fonction v
Soit v et u deux fonctions telles que u est définie sur un intervalle à I à valeurs dans l'intervalle J , c'est-à-dire pour tout x de l,u(x) appartient à J) et v est définie sur J.
Propriété
Associativité de la composition de fonctions
Non commutativité de la composition de fonctions
La composée de fonctions est associative. Soit u,v,w trois fonctions vérifiant les conditions de définition requises alors : w°(v°u) = (w°v)°u
La composée de fonctions n'est pas commutative : v°u != u°v en général
Methode
Etudier un schéma de composition
Déterminer l'image d'un nombre par une fonction composée
Trouver et noter le schéma de composition, c'est-à-dire donner la composition des fonctions dans la fonctions étudier.
Supprimer les ° en passant par les parenthèses et en suivant la composition étape par étape.: u°v ==>u(v(x))
Trouver et noter le schéma de composition, c'est-à-dire donner la composition des fonctions dans la fonctions étudier.
Etablir le tableau de variation des fonctions de la fonctions composée
Et déterminer l'image (le résultat) par le moyen du tableau de variation
Théorème
Dérivée d'une fonction composée
Soit u et v dérivables de dérivées respectives u' et v', alors v°u est dérivable et sa dérivée s'écrit:
(v°u)'(x) = (v'(u(x))*u'(x)
Propriété
Monotomie d'une fonction composée
Si u et v sont de même monotonie (Tout deux croissant ou décroissant ) alors v°u sera croissante
Si u et v sont de monotonie contraire ( Une est croissante et l'autre décroissante ) alors v°u est décroissant
Dérivée usuelles
au+b
u^2
u^3
u^n
1/u
Racine de u
cos(u)
sin(u)
e¨u
a/u^n
u'e^u
-u'sin(u)
-(u'/u^2)
3u'u¨2
au'+b
2u'u
nu'u^(n-1)
u'/2racine de u
u'cos(u)
-(nu'/u^n+1)
Méthode
Calculer la dérivée d'une fonction
Etudier une fonction composée et dresser son tableau de variations