espacios vectoriales

es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez axiomas que se dan a continuación. Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores u,v,w en V y todos los escalares α y β reales

Subespacios vectoriales

Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V . W es un subespacio de V si W es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) definidas en
V

W={(x1,x2) ∈ R^2 : x2=3x1}


propiedades de la suma

asociativa:(u+v)+w=u+(v+w)

conmutativa:v+u=u+v

existe un elemento neutro, el vector 0 tal que 0+v=v para cualquier vector v

para cada vector V existe un elemento opuesto, -V, que sumado con el da 0

propiedades del producto de un vector por un escalar

asociativa:β(a v)= (βa)v

distributivas:

respecto de la suma de escalares: (a+β)v=av+βv

especto de la suma de vectores: a(u+v)=au+av

existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1*v=v para cualquier vector V

Espacios vectoriales de matrices

Dado un campo F y enteros positivos M yn, elconjunto de matrices en M(F) es un espacio vectorial en donde la suma se hace entrada a entrada y la multiplicación escalar también.

Espacios vectoriales de funciones

Sea F n campo y consideremos cualquier conjunto X.Consideremos el conjunto V de todas las posibles funciones de X a F. A este conjunto queremos ponerle operaciones de suma y de multiplicación por escalar.

Espacios vectoriales de polinomios

Dado un campo F y un entero positivo n usaremos F[x] para referirnos a todos los polinomios con coeficientes en F y usaremos Fn[x] para referirnos a aquellos polinomios con coeficientes en F y grado a lo más n . Aunque el polinomio cero no tiene grado, también lo incluiremos en Fn[x]