Dérivabilité (Analyse II)
Taux d'accroissement
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Admet une limite finie = nombre dérivé f'(x0)
Se calcule à droite et à gauche
Autre version : x= x0+h
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fonction dérivable => continue
Approximation affine d'ordre 1
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Equation de la tangente : y=f(x0)+f'(x0)(x-x0) ⭐
consiste à écrire f = ordonnée du point de la tangente en x0 + reste qui tend vers 0
Extremum (max local et global, max local et global strict, min local et global, min local et global strict)
Extremum global => extremum local
Si f admet extremum local en un point x et f dérivable en x => f'(x)=0
condition nécessaire mais non suffisante à l'existence d'un extremum local
Max local en u de I : il existe η > 0, pour tout x ∈ I vérifiant |x − u| ≤ η alors f(x) ≤ f(u) ⭐
Rolle et accroissements finis
Lemme de Rolle : (a,b) de R, f définie et continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ alors existe c de ]a,b[ tq f'(c)=0
Règle de l'Hôpital
Il existe au moins un point du graphe de f ayant une tangente horizontale
⚠ il faut que les conditions soient respectées
condition suffisante pour que la dérivée s'annule, mais pas nécessaire, sert dans les raisonnements théoriques
Théorème des accroissements finis (TAF) : f'(c) = f(b)-f(a) / b-a (même conditions que Rolle)
Il existe au moins un point du graphe de f où la tangente est parallèle à la corde joignant les points en a et b du graphe
Rolle : cas particulier du TAF où f(a)=f(b)
Inégalité des accroissements finis : f continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[, si on a |f'(x)|≤ M alors nécessairement
Dérivée et fonction monotone : f croissante sur [a,b] ssi f' positive sur ]a,b[
Dérivée et fonction strictement monotone : f strictement croissante sur [a,b] ssi f' positive sur ]a,b[ et il n'existe aucun intervalle ouvert non vide tq f n'est pas identiquement nulle
Dérivées successives, classe de la fonction (si f classe n sur R, alors f n fois dérivable et continue sur R)
les points où la dérivée est nulle ne sont pas nécessairement des extrema de la fonction
Les extrema sont à chercher parmi les points u où f'(u)=0 ou f pas dérivable
f dérivable et dérivée bornée => K-lipschitzienne
si K-lipschtzienne et dérivable => dérivée bornée