Analyse I

Limite fonction d'une variable réelle

Suites réelles

Limite

Unicité limite : si U tend vers l et l', alors l=l'

Suite convergente => bornée / suite majorée => convergente

Limite finie: ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, |un − l| < ε. ⭐

Limite infinie: ∀A > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, un > A.
⭐

Extraction

Croissances comparées : exp , puissances, ln

ϕ : N → N et ϕ(n)>=n

Suite extraite de U : (uϕ(k))k∈N

Suite divergente : 2 sous-suites n'ayant pas la même limite

Bolzano-Weierstrass : suite réelle bornée => extraire sous-suite convergente

Soleil-Levant : suite réelle => extraire sous-suite monotone

Limite fonction d'une variable réelle

Définitions

Limite finie en un point fini : ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀u ∈]x0 − δ, x0 + δ[∩D, |f(u) − l| < ε. ⭐

Limite finie en l'infini : ∀ε > 0, ∃M > 0, ∀u ∈]M, +∞[∩D, |f(u) − l| < ε. ⭐

Limite infinie en l'infini : ∀A > 0, ∃δ > 0, ∀u ∈]x0 − δ, x0 + δ[∩D, f(u) > A. ⭐

Unicité limite

Continuité

TVI : f continue sur [a,b] et f(a)≤ 0 et f(b)≥0 => il existe au moins un élément c de [a, b] tel que f(c) = 0

Théorème des bornes atteintes synthétique : f continue sur [a,b] => l'image de f est un segment (intervalle fermé borné)

TVI synthétique : f continue sur I => l'image de f est un intervalle

Continuité uniforme : ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x, y ∈ D,(|x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε). ⭐

Fonction lipschitzienne

Lipschitzienne => uniformément continue

∀x, y ∈ D,|f(x) − f(y)| ≤ K|x − y|. ⭐

Théorème Heine : f continue sur [a,b] => f uniformément continue sur [a,b]