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Aproximaciones polinómicas, sucesiones y series infinitas, Referencias L…
Aproximaciones polinómicas, sucesiones y series infinitas
Aproximaciones polinómicas mediante la formula de Taylor
Series de potencias
Se consideran las series de potencias para calcular valores de función tales como sen x, In x, e^x
Definición de una serie de potencias
Una serie de potencias en x - a es una serie de la forma
C0 + C1(x – a) + C2(x – a)^2 + … + Cn (x – a)^ n + …
La serie de potencias es una suma de términos dados en la forma general cₙ(x-a)ⁿ. La serie de potencias mas general puede obtenerse de sumatoria de los términos mediante la traslación x = ̅x -a
Una serie de potencias en x se define una función que tiene como dominio todos los valores de x los cuales la serie de potencia converge
Teorema 1
Si la serie de potencias
es convergente para x = x1(x1 ≠ 0), entonces es absolutamente convergente para todos los valores de x para los cuales |x||x|> |x1|
Demostración
Si n N ≥
<1
La serie
Teorema 2
Si la serie de potencias
es divergente para x =x2, entonces es divergente para todos los valores de x, para los cuales |x|>|x2|
Teorema 3
Sea
una serie de potencias, sola una de estas tres condiciones se cumple
La serie converge solo cuando x = 0.
La serie es absolutamente convergente para todos los valores de x
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Derivada numérica
DIFERENCIAS CENTRADAS
DIFERENCIA HACIA ADELANTE
DIFERENCIA HACIA ATRÁS
Es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma.
Si de una función f(x) se conocen sus valores en un determinado soporte de puntos, puede ‘aproximarse” la función f(x) por otra función p(x) que la interpole en dicho soporte y sustituir el valor de las derivadas de f(x) en un punto x
por el valor de las correspondientes derivadas de p(x) en dicho punto x
Aproximaciones polinómicas mediante la formula de Taylor
Mientras que los valores de funciones polinomiales
pueden determinarse efectuandose un número finitos de adiciones y multiplicaciones, en cambio otra funciones como las funciones logarítmica, exponenciaes y trigonométricas no pueden evauarse de forma tan sencilla.
Varios métodos se pueden emplearse para aproximar una dunción dad mediante polinomios. Uno de los más apliamente utilizados es la fórmula de Taylor
Teorema
Sea f una función tal que f y sus primeras derivadas son continuas en el intervalo cerrado [a,b]. Además se considera que f**(n+1) (x), existe para toda x del intervalo abierto(a,b).
La condición que se debe de cumplir es que f y sus primeras derivadas sean continuas en un intervalo cerrado que contenga (a y x), y la (n+1) la derivada de f exista en todo los puntos del intervalo abierto correspondiente
Pn(x) se denomina polinomo de Taylor de n-éstimo grado de la función f en el numero a, y Rn(x)se llama residuo, tambien se denomina forma de Lagrange de residuo
Esta formula recibe el nombre de fórmula de Maclaurin, Este polinomio de Maclaurin de n-ésimo grado es obtenida apartir de a = 0
Una función puede aproximarse por medio de un polinomio de Taylor en un numero a o por un polinomio de Maclaurin
Formula de Taylor con forma integral del residuo
Dependiendo de la funcion puede convenir empñear una forma del residuo mas que otra, se expresa el residuo como una integral
Si f es una funcipín cuya primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo cerrado que contiene (a y x), donde Pn(x) es el polinomio de Taylor de n-enesimo grado de f en a y em Rn(x) es el residuo dado por
El polinomio de Taylor de n-ésimo grado es la suma de n+1 términos y conforme a n crece sin limite, la suma puede o no aproximarse a un limite.
El objetivo principal de este capítulo es aproximar funciones mediante series de potencias.
Se iniciará con el estudio de aproximaciones polinomiales con énfasis en los polinomios de Taylor
En la sección 8.2 se trata de la función sucesión, es una función ciyo dominio es el conjunto de números enteros positivos y cuyo contradominio se basa en los elementos de la sucesión
También encontraremos la demostración de la equivalencia de conversión y sucesiones monótonas acotadas basadas en las propiedades de completez de los numeros reales
En la sección 8.3 se define la suma de una serie infinita como límite de un tipo particular de sucesión en la sección 8.4 los criterios de convergencia de series infinitos donde se considerar series de terminos positivos
En la sección 8.5 en la que se estudian series cuyos términos son positivos y negativos
En la sección 8.6 se encuentra realizado un resumen de los criterios de convergencia y divergencia estudiadas en la sección 8.3 a 8.5
En la sección 8.7 se da una breve descripción sobre las series de potencias.
En la sección 8.8 y 8.10 se utilizara dichas series para expresar como series infinitas muchas funciones. La series de potencias se aplican a fin de de aproximar numeros irracionales, asi como para aproximar integrales definidas cuyo integrando no tenga antiderivada en forma cerrada
Referencias
L.Leithold,El Cálculo, Séptima edición, Oxford University Press,1998
Wikipedia”, “Derivación numérica”,
http://es.wikipedia.org/wiki/Derivaci%C3%B3n_num%C3%A9rica
, Junio 2013.
