SVILUPPO IN MULTIPOLI

SVILUPPO IN MULTIPOLI

Analogamente sovrapponendo l'azione di due dipoli a distanza d2 $ \varphi_2(\textbf{r}))\cong -d_2\left ( \frac{\partial \varphi_{1^+}}{\partial d_2} \right )=(-1)^2 \frac{p_1}{4\pi \epsilon_0}d_2 \frac{\partial ^2}{\partial d_1 \partial d_2} \left ( \frac{1}{r} \right )=(-1)^2 \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{p_2}{2} \frac{\partial ^2}{\partial d_1 \partial d_2} \left ( \frac{1}{r} \right ) $ dove p2=2p1d2 è il momento di quadrupolo

Polarizzazione: deformazione configurazione cariche dielettrico

Dipolo:due cariche identiche opposte separate da d - qd

In punto A: $\varphi (A)=\frac{1}{4\pi\varepsilon _{0}}(\frac{q}{r_{1}}-\frac{q}{r_{2}})= \frac{1}{4\pi\varepsilon _{0}}\frac{\vec{p}\cdot \vec{r}}{r^3}$

Valido per punti lontani o d->0

Per dipoli non in O

$\varphi (A)=\frac{1}{4\pi\varepsilon _{0}}p \cdot \nabla \left (\frac{1}{\left |r-r_{0} \right |}\right ) $

Un campo esercita un momento $\vec{\tau} =\vec{p}\times \vec{E}$

L'energia potenziale del dipolo si calcola tramite $\varphi =\varphi(r+d)=\varphi_{r}+d\left(\alpha\frac{\partial \varphi}{\partial x}+\beta\frac{\partial \varphi}{\partial y}+\gamma\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)+o=\varphi(r)+d\left ( \frac{\partial \varphi}{\partial d} \right )_{r}=\varphi_{r}+d\nabla\varphi\bullet u_{d}=\varphi(r)-dE_{d} $

Da cui $U=q(\varphi(r+d)-\varphi(r))\approx q\left ( \frac{\partial \varphi}{\partial d} \right )d=-pE_d=-p\bullet E $

Rigorosa al limite d->0

In campi non uniformi c'è forza di trascinamento su dipolo $dU=-Fds$ e quindi $F=-\nabla U=\nabla(p\bullet E) $

Senza rotazioni (p costante si ha) $ F_s=p \bullet \nabla E_s $

Tra due dipoli si ha $ U_{21}=-p_2 \bullet E_1= -p_1 \bullet E_2=U_{12} $

Per le forze $ F_r = -\frac{\partial U}{\partial r} F_{\theta}=-\frac{1}{r} \frac{\partial U}{\partial \theta} $

Componente trasversa diversa da zero cioè forze non centrali

Q.m. moto orbitale non si conserva ma si aggiunge il momento intrinseco dei dipoli che ruotano e quindi la somma si conserva

Può essere ricavato anche con sviluppo di Taylor sovrapponendo l'azione di due cariche a distanza d

$ r_2-r_1 \, approx\, dcos \theta $

Per multipoli di ordine n $ p_n=n p_{n-1} d_n $ e $ \varphi(r)= (-1)^n \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{p_n}{n!} \frac{\partial ^n}{\partial d_1 \partial d_2 ... \partial d_n} \left ( \frac{1}{r} \right ) $

Presa una distribuzione di carica con densità $ \rho(d) $ $ d\varphi(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \rho(d) dV \frac{1}{\left | r-d \right |}\xrightarrow[Taylor]{serie} d\varphi(r)= \frac{\rho (d)dV)}{4\pi\epsilon_0} \left [ \frac{1}{r} + (-1)d\frac{\partial }{\partial d} \left (\frac{1}{r} \right) +(-1)^2 \frac{d^2}{2!} \frac{\partial ^2}{\partial d^2} \left ( \frac{1}{r} \right ) + ... \right ] $

$ \varphi_{0}(r)=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\iiint_V \rho(\mathbf{d})dV)}{r}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r} $ termine di monopolo

$ \varphi_1(\mathbf{r})=\iiint_V\left ( - \frac{ \rho (\mathbf{d}) dV}{4\pi\epsilon_0} \mathbf{d} \cdot \left ( \nabla \frac{1}{r} \right )_A \right ) =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\mathbf{p_1}\cdot\nabla\left( \frac{1}{r} \right)_A $ termine di dipolo in cui $ \mathbf{ p_{1} }=\iiint_V\rho(\textbf{d})\textbf{d}dV $ momento di dipolo della distribuzione di carica rispetto all'origine O

$ \varphi_2(\mathbf{r})=(-1)^2\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{2!}\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\left[ \left( \iiint_V\rho(\mathbf{d}) d_{x_i} d_{x_j} dV \right) \left( \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} \left( \frac{1}{r} \right) \right)_A \right] $ termine di quadrupolo in cui $ p_{2_{ij}}=\iiint\rho(\mathbf{d})d_{x_i}d_{x_j} $ momento di quadrupolo

A seconda di quali termini si annullano a grande distanza il potenziale a grande distanza si può approssimare con una carica, dipolo, quadrupolo e così via nell'origine

Il momento di dipolo di una distribuzione qualsiasi dipende dal sistema di riferimento in quanto $ \mathbf{p}= \iiint_V \rho \mathbf{d}dV$ ma se $ \mathbf{d}=\overrightarrow{OO^{'}}+d^{'} $ risulta $\mathbf{p'}= \iiint_V \rho \mathbf{d'}dV$ diverso dal precedente

Se la carica totale $q= \iiint_V \rho dV $ è nulla il momento di dipolo non cambia e dunque il momento di dipolo di un sistema neutro è una caratteristica intrinseca del sistema

In tal caso il potenziale informa solo sul momento di dipolo ma non sulla distribuzione di cariche e possiamo separare i contributi delle cariche positive e negative $ \mathbf{p}= \iiint_V \rho_+ (\mathbf{d})\mathbf{d}dV +\iiint_V \rho_- (\mathbf{d})\mathbf{d}dV=q(\mathbf{d}_+-\mathbf{d}_-)=q \mathbf{d} $