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SVILUPPO IN MULTIPOLI - Coggle Diagram
SVILUPPO IN MULTIPOLI
Polarizzazione: deformazione configurazione cariche dielettrico
Dipolo:due cariche identiche opposte separate da d - qd
In punto A: \(\varphi (A)=\frac{1}{4\pi\varepsilon _{0}}(\frac{q}{r_{1}}-\frac{q}{r_{2}})= \frac{1}{4\pi\varepsilon _{0}}\frac{\vec{p}\cdot \vec{r}}{r^3} \)
Valido per punti lontani o d->0
Per dipoli non in O
\(\varphi (A)=\frac{1}{4\pi\varepsilon _{0}}p \cdot \nabla \left (\frac{1}{\left |r-r_{0} \right |}\right ) \)
Può essere ricavato anche con sviluppo di Taylor sovrapponendo l'azione di due cariche a distanza d
Analogamente sovrapponendo l'azione di due dipoli a distanza d2 \( \varphi_2(\textbf{r}))\cong -d_2\left ( \frac{\partial \varphi_{1^+}}{\partial d_2} \right )=(-1)^2 \frac{p_1}{4\pi \epsilon_0}d_2 \frac{\partial ^2}{\partial d_1 \partial d_2} \left ( \frac{1}{r} \right )=(-1)^2 \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{p_2}{2} \frac{\partial ^2}{\partial d_1 \partial d_2} \left ( \frac{1}{r} \right ) \) dove p2=2p1d2 è il momento di quadrupolo
Per multipoli di ordine n \( p_n=n p_{n-1} d_n \) e \( \varphi(r)= (-1)^n \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{p_n}{n!} \frac{\partial ^n}{\partial d_1 \partial d_2 ... \partial d_n} \left ( \frac{1}{r} \right ) \)
Presa una distribuzione di carica con densità \( \rho(d) \) \( d\varphi(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \rho(d) dV \frac{1}{\left | r-d \right |}\xrightarrow[Taylor]{serie} d\varphi(r)= \frac{\rho (d)dV)}{4\pi\epsilon_0} \left [ \frac{1}{r} + (-1)d\frac{\partial }{\partial d} \left (\frac{1}{r} \right) +(-1)^2 \frac{d^2}{2!} \frac{\partial ^2}{\partial d^2} \left ( \frac{1}{r} \right ) + ... \right ] \)
\( \varphi_{0}(r)=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\iiint_V \rho(\mathbf{d})dV)}{r}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r} \) termine di monopolo
\( \varphi_1(\mathbf{r})=\iiint_V\left ( - \frac{ \rho (\mathbf{d}) dV}{4\pi\epsilon_0} \mathbf{d} \cdot \left ( \nabla \frac{1}{r} \right )_A \right ) =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\mathbf{p_1}\cdot\nabla\left( \frac{1}{r} \right)_A \) termine di dipolo in cui \( \mathbf{ p_{1} }=\iiint_V\rho(\textbf{d})\textbf{d}dV \) momento di dipolo della distribuzione di carica rispetto all'origine O
\( \varphi_2(\mathbf{r})=(-1)^2\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{2!}\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\left[ \left( \iiint_V\rho(\mathbf{d}) d_{x_i} d_{x_j} dV \right) \left( \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} \left( \frac{1}{r} \right) \right)_A \right] \) termine di quadrupolo in cui \( p_{2_{ij}}=\iiint\rho(\mathbf{d})d_{x_i}d_{x_j} \) momento di quadrupolo
A seconda di quali termini si annullano a grande distanza il potenziale a grande distanza si può approssimare con una carica, dipolo, quadrupolo e così via nell'origine
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Un campo esercita un momento \(\vec{\tau} =\vec{p}\times \vec{E}\)
L'energia potenziale del dipolo si calcola tramite \(\varphi =\varphi(r+d)=\varphi_{r}+d\left(\alpha\frac{\partial \varphi}{\partial x}+\beta\frac{\partial \varphi}{\partial y}+\gamma\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)+o=\varphi(r)+d\left ( \frac{\partial \varphi}{\partial d} \right )_{r}=\varphi_{r}+d\nabla\varphi\bullet u_{d}=\varphi(r)-dE_{d} \)
Da cui \(U=q(\varphi(r+d)-\varphi(r))\approx q\left ( \frac{\partial \varphi}{\partial d} \right )d=-pE_d=-p\bullet E \)
Rigorosa al limite d->0
In campi non uniformi c'è forza di trascinamento su dipolo \(dU=-Fds\) e quindi \(F=-\nabla U=\nabla(p\bullet E) \)
Senza rotazioni (p costante si ha) \( F_s=p \bullet \nabla E_s \)
Tra due dipoli si ha \( U_{21}=-p_2 \bullet E_1= -p_1 \bullet E_2=U_{12} \)
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\( r_2-r_1 \, approx\, dcos \theta \)