Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
CHƯƠNG 4: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM - Coggle Diagram
CHƯƠNG 4: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
4.3.Sử dụng đạo hàm để phác họa dáng điệu của hàm số
Hàm số tăng và giảm
Cho f là hàm khả vi trên khoảng mở (a, b).
Nếu
f'(x) > 0
trên (a, b)
thì f tăng ngặt
trên (a, b). Nếu
f'(x) < 0
trên (a, b) thì
f giảm ngặt trên
(a, b)
Phác họa đường cong sử dụng đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2
Tính lõm và điểm uốn
Đồ thị hàm f là
lõm lên
trên bất kì khoảng mở I nếu
f''(x) > 0
và
lõm xuống
nếu
f ''(x) < 0.
Một điểm P(c, f(c)) trên đường cong được gọi là
điểm uốn
nếu đồ thị hàm số lồi một bên của P và lõm ở một bên khác.
Tiêu chuẩn đạo hàm cấp 2
Tiêu chuẩn đạo hàm cấp một
4.1.Cực trị của hàm liên tục
Định lí về cực trị
Cho f là một hàm định nghĩa trên khoảng I chứa số c. Khi đó ta có các phát biểu sau:
f(c) là
cực đại tuyệt đối
của f trên I nếu f(c) ≥ f(x) ∀x ∈ I.
f(c) là
cực tiểu tuyệt đối
của f trên D nếu f(c) ≤ f(x) ∀x ∈ I.
Hàm số liên tục f vừa có cực đại
tuyệt đối, vừa có cực tiểu tuyệt đối trên bất kỳ khoảng đóng, bị chặn [a, b].
Cực trị tuyệt đối
Tối ưu hóa
Cực trị tương đối
Cực đại tương đối
Cực tiểu tương đối
Cực trị tương đối
Số tới hạn
4.6.Sự tối ưu hóa trong khoa học vật lý và kỹ thuật
Bài toán tối ưu
4.4.Phác họa đường cong với tiệm cận. Giới hạn vô cực
Tổng quát về đồ thị
Giới hạn tại vô cực
Các quy tắc tính giới hạn
Giới hạn đặc biệt tại vô cực
Hàm số với tiệm cận
Đường thẳng x = c là
tiệm cận đứng
của đồ thị f nếu lim x→c− f(x) hoặc lim x→c+ f(x) là vô cực.
Đường thẳng y = L là
tiệm cận ngang
của đồ thị f nếu limx→∞ f(x) = L hoặc lim x→−∞ f(x) = L.
Giới hạn bằng vô cực
Ta viết
limx→c f(x) = ∞
nếu với mọi
N > 0
, ta tìm được một
δ > 0
sao cho
f(x) > N với 0 < |x − c| < δ
.
Tương tự,
limx→c g(x) = −∞
nếu với mọi
N > 0
, ta tìm được một
δ > 0
sao cho
g(x) > −N với 0 < |x − c| < δ
.
Tiếp tuyến đứng và đỉnh
4.2. Định lý giá trị trung bình
Nếu f liên tục trên khoảng đóng [a, b] và khả vi trên khoảng mở (a, b) thì tồn tại ít nhất một số c trên
(a, b) sao cho
(f(b) − f(a)) / (b − a) = f'(c)
4.5.Quy tắc L’Hopital
Cho f và g là các hàm khả vi liên tục với g’(x) khác 0 trên khoảng mở chứa c
( có thể trừ c).
Giả sử limx→c f(x)/ g(x) có dạng 0/0 hoặc ∞/ ∞ và limx→c f’(x)/ g’(x) = L với L có thể là số hữu hạn hay +∞, hoặc −∞.
Khi đó limx→c f(x) g(x) = L.
Định lý trên cũng áp dụng được với giới hạn một bên và giới hạn tại vô cực
(x → ∞ và x → −∞)
Các giới hạn đặc biệt liên quan đến
e^x
và
ln x
Nếu k và n là các số dương, thì:
lim x→0+ ln x/ x^n = −∞
limx→∞ ln x/x^n = 0
limx→∞ e^(kx)/ (x^n) = ∞
limx→∞ x^n e^(−kx) = 0