Cho f là một hàm định nghĩa trên khoảng I chứa số c. Khi đó ta có các phát biểu sau:

• f(c) là cực đại tuyệt đối của f trên I nếu f(c) ≥ f(x) ∀x ∈ I.
  
  • f(c) là cực tiểu tuyệt đối của f trên D nếu f(c) ≤ f(x) ∀x ∈ I.

Hàm số liên tục f vừa có cực đại
tuyệt đối, vừa có cực tiểu tuyệt đối trên bất kỳ khoảng đóng, bị chặn [a, b].

• Cực đại tương đối
• Cực tiểu tương đối
• Cực trị tương đối
• Số tới hạn

Nếu f liên tục trên khoảng đóng [a, b] và khả vi trên khoảng mở (a, b) thì tồn tại ít nhất một số c trên
(a, b) sao cho
(f(b) − f(a)) / (b − a) = f'(c)

Phác họa đường cong sử dụng đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2

Tiêu chuẩn đạo hàm cấp 2

Tiêu chuẩn đạo hàm cấp một

Cho f là hàm khả vi trên khoảng mở (a, b).
Nếu f'(x) > 0 trên (a, b) thì f tăng ngặt trên (a, b). Nếu f'(x) < 0 trên (a, b) thì f giảm ngặt trên (a, b)

Đồ thị hàm f là lõm lên trên bất kì khoảng mở I nếu f''(x) > 0 và lõm xuống nếu f ''(x) < 0.

Một điểm P(c, f(c)) trên đường cong được gọi là điểm uốn nếu đồ thị hàm số lồi một bên của P và lõm ở một bên khác.

• Đường thẳng x = c là tiệm cận đứng của đồ thị f nếu lim x→c− f(x) hoặc lim x→c+ f(x) là vô cực.
• Đường thẳng y = L là tiệm cận ngang của đồ thị f nếu limx→∞ f(x) = L hoặc lim x→−∞ f(x) = L.
  

Cho f và g là các hàm khả vi liên tục với g’(x) khác 0 trên khoảng mở chứa c
( có thể trừ c).
Giả sử limx→c f(x)/ g(x) có dạng 0/0 hoặc ∞/ ∞ và limx→c f’(x)/ g’(x) = L với L có thể là số hữu hạn hay +∞, hoặc −∞.
Khi đó limx→c f(x) g(x) = L.
Định lý trên cũng áp dụng được với giới hạn một bên và giới hạn tại vô cực
(x → ∞ và x → −∞)

Ta viết limx→c f(x) = ∞ nếu với mọi N > 0, ta tìm được một δ > 0 sao cho
f(x) > N với 0 < |x − c| < δ.
Tương tự, limx→c g(x) = −∞ nếu với mọi N > 0, ta tìm được một δ > 0 sao cho
g(x) > −N với 0 < |x − c| < δ.

Nếu k và n là các số dương, thì:
lim x→0+ ln x/ x^n = −∞
limx→∞ ln x/x^n = 0
limx→∞ e^(kx)/ (x^n) = ∞
limx→∞ x^n e^(−kx) = 0

Bài toán tối ưu