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Transformada de Laplace - Coggle Diagram
Transformada de Laplace
Introducción
Sea f (t) una función definida para t ≥ 0 ; a la
expresión:
Teorema 1
La transformada de Laplace es un operador lineal: para cada función f (t) y g(t)
cuya transformada de Laplace exista y para cualesquiera constantes a y b, tenemos:
Demostración
por definición de la transformada:
puesto que la integral también es lineal:
Transformada inversa de Laplace
Si £({f(t)}=F(s), entonces, £−1
{F(s)}=f(t) se llama trasformada inversa de F(s)
Ejemplo
Sea F(s)=3/s^2 Hallar f(t) tal que £−1 {3/s^2}=f(t)
Sabemos que: £−1 {1/s^2}=t
Por linealidad £ -1{3/s^2}=3£-1{1/s^2}. Entonces £-1{3/s^2}=3t
Por lo tanto f(t)=3t
Traslación sobre el eje s
Teorema 2: Traslación sobre el eje s (primer teorema de traslación).
Si £{f(t)}=F(s) entonces £{(e^at)f(t)}=F(s-a)
Demostración
Este teorema facilita encontrar transformadas sin resolver la integral, basta con
recorrer la función. Gráficamente se vería así:
Existencia de la transformada
Teorema 3
Sea f (t) de orden exponencial α en t ≥ 0. Sea f (t)
seccionalmente continua en t ≥ 0
Demostración:
Para cualquier entero positivo n, tenemos:
Como f (t) es seccionalmente continua en cada intervalo fi nito 0 ≤ ≤t n, la integral I1, existe. Para la integral I2 se cumple que:
Como f (t) es de orden exponencial α, existen M, α tales que: f (t) Me dt
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Propiedades de la transformada de Laplace
Teorema 4
Transformada de la derivada de una función.
Si
Demostración
Procediendo de la misma manera, obtenemos:
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