GLI INSIEMI
definizione
l'INSIEME è un raggruppamento di oggetti, detti ELEMENTI, che hanno una proprietà, una caratteristica oggettiva, che li accomuna (numeri, lettere, persone...)
come si indicano
• Lettere dell’alfabeto maiuscole per determinare un insieme: A, B, C,.., Z.
• Lettere dell’alfabeto minuscole per determinare gli elementi di un insieme: a, b, c,…, z.
si possono rappresentare
graficamente ( diagramma di EULERO-VENN)
per elencazione o rappresentazione estensiva
per caratteristica o rappresentazione intensiva
classificazione
• Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme si utilizza il simbolo “∈“. Contrariamente se un elemento non appartiene ad un insieme si sbarra il simbolo “∉ “.
insiemi numerici
N: insieme dei numeri naturali N= {0,1,2,3,4,5,6,...}
Z: insieme dei numeri interi relativi Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
R: insieme dei numeri reali
R= {...,π, √2, -√11,...}
Q: insieme dei numeri razionali
Q={...,-2...,-1,...,-1/3,...,0,...,1/2,...,3/2,...,2,...,3,...}
INSIEME UNITARIO
INSIEME FINITO
INSIEME VUOTO
INSIEME INFINITO
QUANDO NON HA ELEMENTI AL SUO INTERNO.
SE HA UN SOLO ELEMENTO AL SUO INTERNO.
SE ESSO CONTIENE UN NUMERO FINITO DI ELEMENTI.
SE HA INFINITI ELEMENTI AL SUO INTERNO.
consiste nel disegnare dei cerchi ed inserendo tutti gli elementi a livello grafico
Utilizzando questo diagramma, l’insieme è rappresentato da una linea curva chiusa. L’insieme viene indicato con una lettera maiuscola: nell’esempio riportato nell’immagine in alto, essa è la lettera A.
All’interno di tale linea poniamo tanti punti quanti sono gli elementi che compongono l’insieme. Accanto ad ogni punto, mettiamo una lettera minuscola in modo da distinguere i punti gli uni dagli altri. Nel nostro esempio abbiamo indicato le lettere a,b,c,d,e.
∅={ }
es. l'insieme N dei numeri naturali
si scrivono tutti gli elementi dell'insieme separati da virgole e tra parentesi graffe
si indica la proprietà che caratterizza univocamente gli elementi dell'insieme
A è l'insieme delle vocali
A = { a, e , i , o , u }
A = { x | x è una vocale}
si legge: l'insieme A è formato da tutti gli elementi x tali che x è una vocale. La caratteristica degli elementi è: " essere una vocale".
operazioni
DIFFERENZA
UNIONE
sottoinsiemi
se rappresentiamo un insieme per elencazione o con diagramma di Venn, ogni elemento deve essere presente una sola volta
Un insieme A è detto sottoinsieme di B se ogni elemento di A appartiene ad B.
il sottoinsieme A è incluso nell'insieme B. Per indicare la relazione di inclusione normale si utilizza il simbolo ⊆. Si legge "l'insieme A è contenuto nell'insieme B".
possono essere
PROPRI
IMPROPRI
UGUALI
il simbolo ⊄ indica che un insieme non è sottoinsieme di un altro
Si parla di sottoinsieme proprio quando il sottoinsieme A è contenuto nell'insieme B, ma esiste almeno un elemento di B che non è contenuto in A.
In questo caso si parla di relazione di inclusione stretta. E' un caso particolare di inclusione, indicato con il simbolo ⊂. Si dice che "l'insieme A è parte propria dell'insieme B"
Un sottoinsieme B dell’insieme A invece si dice improprio quando non è un sottoinsieme proprio, ovvero se è vuoto oppure esattamente uguale ad A.
Qualsiasi insieme ha sempre due sottoinsiemi impropri: un insieme identico a se stesso e l'insieme vuoto (A ⊆ A e ø ⊆ A)
due insiemi A e B sono uguali ( A=B) se hanno gli stessi elementi e quindi A=B solo se ogni elemento di A appartiene a B e viceversa
dati due insiemi A e B, si chiama DIFFERENZA di A e B (A-B), l'insieme C degli ELEMENTI che APPARTENGONO ad A e che NON APPARTENGONO a B.
l'unione tra due o più insiemi è un insieme che contiene tutti gli elementi degli insiemi considerati. Se gli insiemi contengono elementi comuni, questi vengono presi una sola volta.
il simbolo dell'unione è U.
L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme C degli elementi che appartengono sia all'insieme A e sia all'insieme B. In tale caso si afferma che "A è intersecato con B" e si scrive A∩B.
il simbolo dell'intersezione è ∩ .
COMPLEMENTARE di un insieme
dati due insiemi A e B, di cui il secondo è SOTTOINSIEME del primo, la DIFFERENZA A - B si dice anche INSIEME COMPLEMENTARE di B rispetto ad A.
PRODOTTO CARTESIANO
INSIEME UNIVERSO
l'INSIEME UNIVERSO è quell'insieme che COMPRENDE TUTTI GLI ELEMENTI e TUTTI GLI INSIEMI ESISTENTI. SI INDICA CON U
dati gli insiemi A e B, il prodotto cartesiano AxB è l'insieme delle coppie ordinate (a;b), con a che appartiene all'insieme A e b che appartiene all'insieme B
