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GLI INSIEMI - Coggle Diagram
GLI INSIEMI
definizione
l'INSIEME è un raggruppamento di oggetti, detti ELEMENTI, che hanno una proprietà, una caratteristica oggettiva, che li accomuna (numeri, lettere, persone...)
insiemi numerici
N
: insieme dei numeri naturali N= {0,1,2,3,4,5,6,...}
Z
: insieme dei numeri interi relativi Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
R
: insieme dei numeri reali
R= {...,π, √2, -√11,...}
Q
: insieme dei numeri razionali
Q={...,-2...,-1,...,-1/3,...,0,...,1/2,...,3/2,...,2,...,3,...}
come si indicano
•
Lettere dell’alfabeto maiuscole per determinare un insieme: A, B, C,.., Z.
•
Lettere dell’alfabeto minuscole per determinare gli elementi di un insieme: a, b, c,…, z.
•
Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme si utilizza il simbolo “∈“. Contrariamente se un elemento non appartiene ad un insieme si sbarra il simbolo “∉ “.
si possono rappresentare
graficamente ( diagramma di EULERO-VENN)
consiste nel disegnare dei cerchi ed inserendo tutti gli elementi a livello grafico
Utilizzando questo diagramma, l’insieme è rappresentato da una linea curva chiusa. L’insieme viene indicato con una lettera maiuscola: nell’esempio riportato nell’immagine in alto, essa è la lettera A.
All’interno di tale linea poniamo tanti punti quanti sono gli elementi che compongono l’insieme. Accanto ad ogni punto, mettiamo una lettera minuscola in modo da distinguere i punti gli uni dagli altri. Nel nostro esempio abbiamo indicato le lettere a,b,c,d,e.
per elencazione o rappresentazione estensiva
si scrivono tutti gli elementi dell'insieme separati da virgole e tra parentesi graffe
A è l'insieme delle vocali
A = { a, e , i , o , u }
se rappresentiamo un insieme per elencazione o con diagramma di Venn, ogni elemento deve essere presente una sola volta
per caratteristica o rappresentazione intensiva
si indica la proprietà che caratterizza univocamente gli elementi dell'insieme
A = { x | x è una vocale}
si legge: l'insieme A è formato da tutti gli elementi x tali che x è una vocale. La caratteristica degli elementi è: " essere una vocale".
classificazione
INSIEME UNITARIO
SE HA UN SOLO ELEMENTO AL SUO INTERNO.
INSIEME FINITO
SE ESSO CONTIENE UN NUMERO FINITO DI ELEMENTI.
INSIEME VUOTO
QUANDO NON HA ELEMENTI AL SUO INTERNO.
∅={ }
INSIEME INFINITO
SE HA INFINITI ELEMENTI AL SUO INTERNO.
es. l'insieme N dei numeri naturali
INSIEME UNIVERSO
l'INSIEME UNIVERSO è quell'insieme che COMPRENDE TUTTI GLI ELEMENTI e TUTTI GLI INSIEMI ESISTENTI. SI INDICA CON
U
operazioni
DIFFERENZA
dati due insiemi A e B, si chiama DIFFERENZA di A e B (A-B), l'insieme C degli ELEMENTI che APPARTENGONO ad A e che NON APPARTENGONO a B.
INTERSEZIONE
L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme C degli elementi che appartengono sia all'insieme A e sia all'insieme B. In tale caso si afferma che "A è intersecato con B" e si scrive A∩B.
il simbolo dell'intersezione è ∩
.
UNIONE
l'unione tra due o più insiemi è un insieme che contiene tutti gli elementi degli insiemi considerati. Se gli insiemi contengono elementi comuni, questi vengono presi una sola volta.
il simbolo dell'unione è U
.
COMPLEMENTARE di un insieme
dati due insiemi A e B, di cui il secondo è SOTTOINSIEME del primo, la DIFFERENZA A - B si dice anche INSIEME COMPLEMENTARE di B rispetto ad A.
PRODOTTO CARTESIANO
dati gli insiemi A e B, il prodotto cartesiano AxB è l'insieme delle coppie ordinate (
a;b
), con
a
che appartiene all'insieme A e
b
che appartiene all'insieme B
sottoinsiemi
Un insieme A è detto sottoinsieme di B se ogni elemento di A appartiene ad B.
il sottoinsieme A è incluso nell'insieme B. Per indicare la relazione di inclusione normale si utilizza il simbolo
⊆
. Si legge "l'insieme A è contenuto nell'insieme B".
possono essere
PROPRI
Si parla di sottoinsieme proprio quando il sottoinsieme A è contenuto nell'insieme B, ma esiste almeno un elemento di B che non è contenuto in A.
In questo caso si parla di relazione di inclusione stretta. E' un caso particolare di inclusione, indicato con il simbolo
⊂.
Si dice che "l'insieme A è parte propria dell'insieme B"
IMPROPRI
Un sottoinsieme B dell’insieme A invece si dice improprio quando non è un sottoinsieme proprio, ovvero se è vuoto oppure esattamente uguale ad A.
Qualsiasi insieme ha sempre due sottoinsiemi impropri: un insieme identico a se stesso e l'insieme vuoto (A ⊆ A e ø ⊆ A)
UGUALI
due insiemi A e B sono uguali ( A=B) se hanno gli stessi elementi e quindi A=B solo se ogni elemento di A appartiene a B e viceversa
il simbolo ⊄ indica che un insieme non è sottoinsieme di un altro
