Definizione stati inosservabili
Stati indistinguibili: producono la medesima evoluzione libera in uscita
Stato inosservabile = stato indistinguibile dallo stato zero
Se xa è indistinguibile da xb allora Ce^At(xa-xb) = 0.
Se indichiamo dunque xi = xa-xb lo stato xi produce un'evoluzione identicamente nulla in uscita => è indistinguibile dallo stato zero => è inosservabile
end
L'insieme degli stati inosservabili coincide con ker (C CA ...CA^n-1)
Dimostro che se x è inosservabile allora appartiene al ker
Dimostro che se x appartiene al ker allora è inosservabile
Per definizione essendo x inosservabile ho Ce^(At)x = 0
Anche tutte le sue derivate sono nulle per il teorema Salcazzi
La derivata k-esima è C A^k e^At x.
Annullando le prime n derivate ottengo il classico
(C CA ... CA^n-1)x = 0
cvd
Per il teorema di Cayley-Hamilton una matrice quadrata annulla il suo polinomio caratteristico
Moltiplico a sinistra per C e a destra per x il polinomio caratteristico in cui è stato sostituito A a lambda. Poi isolo C A^n x
PASSAGGIO CRITICO: Non ho capito perché ma facciamoci bastare che essendo tutte le derivate di una funzione nulla allora si può concludere che C e^At x = 0
cvd
Definizione stati raggiungibili
Uno stato x si dice raggiungibile se mediante un opportuno ingresso l'evoluzione forzata dello stato partendo dallo stato x0 = 0 porta ad esso
end
Dimostrazione Ragg = Im (B AB ... A^nB)
R(T) = Im(evoluzione forzata dello stato con integrale calcolato tra meno infinito e T)
Che è a sua volta uguale a:
ker(evoluzione forzata nella forma implicita con matrici A e B trasposte)
Che è a sua volta uguale al ker di (B BA ... BA^n-1) sempre con A e B trasposte
Che è uguale a Im (B AB A^nB
cvd