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Méthodes Suite et récurrence - Coggle Diagram
Méthodes Suite et récurrence
M1
: Démontrer une propriété P(n) par récurrence
Poser la propriété P(n) à démontrer
Initialisation :
Pour n = 0 (ou n = 1 si N*)
\-> P(0) (ou P(1)) est vraie
Hérédité :
Poser l'hypothèse de récurrence à un certain rang n
Montrer que P(n+1) est vraie
P(n+1) est donc vraie
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M2
: Montrer qu'une suite est croissante/décroissante
suite croissante
Poser P(n) la propriété Un+1 > Un
Initialisation :
Vérifier pour n = 0 (ou n = 1 si N*) que U(1) > U(0) (ou U(2) > U(1))
Hérédité :
On suppose que P(n) est vraie à un certain rang n, soit Un+1 > Un
Montrer que P(n+1) est vraie, soit Un+2 > Un+1, avec la définition de Un+1 dans l'énoncé
Conclusion :
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suite décroissante
Poser P(n) la propriété Un+1 < Un
Initialisation :
Vérifier pour n = 0 (ou n = 1 si N*) que U(1) < U(0) (ou U(2) < U(1))
Hérédité :
On suppose que P(n) est vraie à un certain rang n, soit Un+1 < Un
Montrer que P(n+1) est vraie, soit Un+2 < Un+1, avec la définition de Un+1 dans l'énoncé
Conclusion :
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M3
: Déterminer une limite et un seuil avec la définition
Déterminer un seuil n0
Sachant que : Un = 3n + 2, A>0
Chercher une valeur de n :
Avec Un > A, on a : 3n + 2 > A
Donc n > (A - 2) / 3
Poser n0, un E(x) +1, (la partie entière de x, arrondi à l'unité)
n0 = E((A - 2) / 3) + 1
Conclusion :
Pour tout entier naturel n ≥ n0, on a Un >A
Déduction limite
pour n -> +inf, lim Un = +inf
On doit avoir n ≥ n0 et Un > A
Sachant que : Un = 3 - 1/n, (a,b)>0
On doit avoir n ≥ n0 et 3 - a < Un < 3 + b
Chercher un encadrement de n :
3 - a < 3 - 1/n < 3 + b
-3
-a < -1/n < b
x -1
...a > 1/n > -b...
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Poser n0, un E(x) +1, (la partie entière de x, arrondi à l'unité)
n0 = E(1/a) + 1
Conclusion :
Pour tout entier naturel n ≥ n0, on a 3-a < Un < 3+b
Déduction limite
pour n -> +inf, lim Un = 3
Programme python
n= ...(n0)
w = ...(w0)
while w ... ..... (condition):
_n = n+1
_w = ... (def w(n+1))
print(n)
M4
: Déterminer la limite d'une suite (opérations)
Identifier les limites de références
ex : pour x -> +inf
lim x = +inf
lim 1/x = 0
lim k = k
lim √x = +inf
lim x² = +inf
Opération des limites en respectant les priorités (tableaux)
par somme
par produit
par quotient
M5
: Lever une forme indéterminée
Montrer l'obtention d'une forme indéterminée
Factoriser par le terme de plus haut degré (quotient)
Déterminer la limite de la forme factorisée ou développée
Développer l'expression
M6
: Théorèmes de comparaison
Comparaison avec une autre suite
On suppose que pour tout n ≥ n0, Un ≤ Vn
Pour n->+inf, si lim Vn = +inf, alors lim Un = +inf
Pour n->+inf, si lim Vn = - inf, alors lim Un = - inf
Pour n-> +inf, lim Un < lim Vn
Théorème des gendarmes
Encadrer (Un) par des suites de références
ex
: sin(n), (-1)^n
Déterminer la limite des 2 suites de l'encadrement
M7
: Déterminer la limite d'une suite géométrique de raison q
(si besoin) Donner une expression de la suite à l'aide de l'énoncé
Rappel
: pour une suite (Un) de raison q , on a : Un = Up x q^(n-p) (et Un = U0 x q^n)
(Un) de raison 2 et de 1er terme -4 --> Un = -4 x 2^n
Appliquer les propriétés des limites de suite géométrique
pour n-> +inf
Si q > 1, lim q^n = +inf
Si q = 1, lim q^n = 1
Si -1 < q < 1, lim q^n = 0
Si q ≤ -1, q^n n'a pas de limite
pour n-> +inf
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M8
: Théorème de convergence
Montrer que (Un) est
majorée
par k, k ∈ Z
Montrer que (Un) est
croissante
déduction : (Un) est convergente
(Un) croissante signifie que Un+1 ≥ Un
(Un) majorée par 1 signifie que Un ≤ 1, ∀n ∈ N
On a donc Un -1 ≤ 0
Montrer que (Un) est
minorée
par k, k ∈ Z
Montrer que (Un) est
décroissante
(Un) croissante signifie que Un ≥ Un+1
(Un) minorée par 1 signifie que Un ≥ 1, ∀n ∈ N
On a donc Un -1 ≥ 0
M9
: Etudier la convergence d'uns suite
Etudier les variations de (Un) (croissante ou décroissante)
Montrer par récurrence que Un ≥ n
Déduction de la limite
Calculer les 1er termes et conjecturer l'expression de Un en fonction de n
Démontrer la conjecture par récurrence
U0 = 0
U1 = 1
U2 = 4
U3 = 9
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On sait que pour n-> +inf, lim n = +inf
d'après le théorème de comparaison, pour n-> +inf, lim Un ≥ lim n
donc pour n-> +inf, lim Un = +inf
Avec Un+1 = Un + 2n+1, pour tout n ∈ N
On a : Un+1 - Un = 2n+1, avec n ≥ 0
Donc Un+1 - Un ≥ 0
M10
: Etude de phénomènes d'évolution
Déterminer U1
Traduire l'énoncé pour déterminer Un+1
Montrer que (Un) est convergente et déterminer sa limite
Montrer que Vn est géométrique
Déduire l'expression de Vn en fonction de n et de Un en fonction de n
Déterminer la limite de (Un) à partir de son expression en fonction de n
Interpréter les variations et la limite de (Un)