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Limites de fonction - Coggle Diagram
Limites de fonction
avec la calculatrice
M1
: Conjecturer une limite en un réel
Entrer l'expression de la fonction dans le menu fonction de la calculatrice
Aller dans le tableur et resserrer l'intervalle autour de la valeur indéfinie
En déduire la limite
pour x -> 0, lim f(x) = 1
Tableur :
x ∈ [-5 ; 5] pas = 1
x = -1
=>
f(x) ≈ 1,72
x = 0
=>
f(x) = undef
x = 1
=>
f(x) ≈ 0,63
x ∈ [-0,5 ; 0,5] pas = 0,1
x = -0,1
=>
f(x) ≈ 1,05
x = 0
=>
f(x) = undef
1 more item...
f(x) = (1-e(-x))/x
M2
: Conjecturer une asymptote
Entrer l'expression de la fonction dans la calculatrice
Aller dans le menu graphique
Conjecturer les limites de la fonctions
Conjecturer la présence d'asymptotes
M4
: Utiliser les théorèmes
de comparaison
Encadrer la fonction
déterminer la limite de la suite d'encadrement
avec e(x) ≤ e(x) × (2+sin(x))
sachant que pour x-> +inf, lim e(x) = +inf
conclure
donc d'après le théorème de comparaison, pour x-> +inf, lim e(x) × (2+sin(x)) = +inf
pour x > 0
-1 ≤ sin(x) ≤ 1
donc
1 ≤ 2 + sin(x) ≤ 3
avec e(x) > 0,
1e(x) ≤ e(x) × (2+sin(x)) ≤ 3e(x)
pour f(x) = e(x) × (2+sin(x))
d'encadrement
pour f(x) = (3+cos(x))/x²
Encadrer la fonction
pour x > 0
-1 ≤ cos(x) ≤ 1
2 ≤ 3+cos(x) ≤ 4
2/x² ≤ (3+cos(x))/x² ≤ 4/x²
Déterminer la limite des suites d'encadrement
pour x-> +inf
lim 2/x² = 0
lim 4/x² = 0
Conclure
donc d'après le théorème d'encadrement, pour x-> +inf, lim (3+cos(x))/x² = 0
M6-7
: Lever une forme indéterminée
en multipliant par le conjugué
Faire apparaître l'identité remarquable (a + b)(a - b) = a² - b²
Simplifier et déterminer la limite de cette nouvelle expression en utilisant la composition de fonction si nécessaire
Conclure
par factorisation
Remarquer une FI de type "∞/∞" ou "∞ - ∞"
Factoriser par le terme de plus haut degré
Simplifier et déterminer les limites
M3
: Déterminer des limites par opération
Identifier les fonctions de références
Se référer aux tableaux d'opérations (somme, produit, quotient)
M5
: Utiliser les compositions de fonctions
Décomposer la fonction et déterminer la limite de la 1ere composante
f(x) = e(1-x)
pour x->+inf
lim 1-x = -inf
Définir cette composante comme X
Posons X = 1-x
Déterminer la limite de la 2nd composante en fonction de la première
pour X->inf
lim e(X) = 0
conclure
Par composition de fonction, pour x-> +inf, lim e(1-x) = 0