XÁC SUẤT

Xác suất cổ điển

Biến ngẫu nhiên

Luật phân phối xác suất

Công thức cộng xác suất

Xác suất có điều kiện

A và B là 2 biến cố tùy ý

A và B là 2 biến cố xung khắc

họ Ai (i=1,2,...n) xung khắc từng đôi

xác suất có điều kiện

P(A/B) = p(A∩B)/p(B)

Nhân xác suất

A và B là hai biến cố không độc lập

p(AB) = p(B).p(A/B) = p(A).p(B/A)

A và B là hai biến cố độc lập

p(AB) = p(A).p(B)

n biến cố Ai, i = 1,...,n không độc lập

p(A1.A2...An) = p(A1).p(A2/A1)...p(An/A1...An-1)

Công thức xác suất đầy đủ và Bayes

Biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x)

Biến ngẫu nhiên rời rạc với xác suất p(X=x_i )=p_i:

Hàm mật độ của X

Hàm mật độ của X

hàm mật độ

f : R --> R

Hàm phân phối xác suất

Fx(x) = =∫_(-∞)^x▒f(t)ⅆt

p(A∪B) = p(A) + p(B)

Công thức xác suất đầy đủ

Công thức Bayes

p(B)=∑_(i=1)^n▒p(A_i )p(├ B┤| A_i ) =p(A_1 )(├ B┤| A_1 )+..+p(A_n )(├ B┤| A_n )

ρ(├ A_i ┤|B)=(p(A_i )_P (├ β┤| Ai ))/(∑(i=1)^n▒p(A_i )p(├ B┤| A_i ) )=p(A_i )p(B,A_i )/p(B)

Bảng phân phối xác suất của X

X x_1 x_2 ...... x_n .....
p p_1 p_2 ...... p_n .....

f(x)= {█(p_i khi x=x_i0 khi x≠x_i,∀ⅈ)┤

p(a≤x≤b)=∫_a^b▒〖f(x)ⅆx ,〗∀a,b∈R

HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

F(x)=∑_(x_i<x)▒p_i

Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên

Trung vị và Mode

Trung vị

p(X≤m)=p(X≥m)

Mode

ModX=p(X=x_0 )

Kỳ vọng

Kỳ vọng của hàm BNN

Kỳ vọng của BNN

X là rời rạc với xác suất  i i p X x p

X là liên tục có hàm mật độ f x 

EX= ∑_l ̇▒〖x_i p_i 〗

EX=∫_(-∞)^(+∞)▒〖x.f(x)ⅆx〗

Phương sai

X là BNN rời rạc

X là BNN liên tục

EY=∫(-∞)^(+∞)▒〖y.f(x)ⅆx〗=∫(-∞)^(+∞)▒〖φ(x).f(x)ⅆx〗

VarX=E(X-EX)^2=E(X^2 )-(EX)^2

BNN X là rời rạc và p(X=x_i )=p_i

VarX=∑_l ̇▒〖x_i^2.p_i 〗 - ( ∑_i▒〖x_i p_i 〗)^2

BNN X là liên tục và có hàm mật độ f(x):

VarX=∫(-∞)^(+∞)▒〖x^2.f(x)ⅆx〗 - (∫(-∞)^(+∞)▒〖x.f(x)ⅆx〗)^2

Phân phối siêu bội: X ∈ H (N,N_A,n) hay X ~ H (N,N_A,n)

pk=p(x=k)== (C(NA)^k 〖 . C〗(N-N_A)^(n-k))/(C_N^n )

EX= np

VarX= npq(N-n)/(N-1)

Phân phối Poisson: X ~ p(λ)

Phân phối chuẩn

Phân phối Nhị thức

X ∈ B(n,p) hay X ~ B(n,p)

X ∈ B(p) hay X ~ B(p)

X = {█(1 khi A xuất hiện0 khi A ̅ xuất hiện)┤
p^k= P(X=k)= C_n^k.p^k 〖.q〗^(n-k) (k=0,1,...n)

VarX=npq

EX= np

Mod X=x_o: np-q ≤𝑥0≤ np– q+1

nn p^k= P(X=k)= ⅇ^(-λ) λ^k/k! (k = 0,1,...n)

EX=VarX= λ

X = {█(1 khi A xuất hiện0 khi A ̅ xuất hiện)┤ p(A ̅ )=1-p=q

EX= p

VarX= pq

ModX=x_0 : λ-1≤x_0≤λ

Phân phối chuẩn đơn giản: T ∈ N (0,1) hay T ~ N (0,1)

f(t)= 1/√2π. e^(- t^2/2) ( hàm Gauss )

ModT= ET=0

VarT=1

: p(a ≤T≤b)= ∫_a^b▒〖f(t)〗 dt=ϕ(b)-ϕ(a)

p(A∪B)=p(A)+p(B)-p(A∩B)

Phân phối chuẩn: X ∈ N (µ;σ^2)

f(x)=1/σ2π e^((-(x-µ)^2)/(2σ^2 )) ,xϵR

ModX= EX = µ

VarX= σ^2

Xác suất Nếu X ∈ N (µ;σ^2) thì T=(X-μ)/σ∈N(0;1)

p(a ≤X≤b)= ϕ((b-μ)/σ)-ϕ((a-μ)/σ)

Vector ngẫu nhiên

Phân phối xác suất thành phần (phân phối lề)

Phân phối xác suất có điều kiện

Bảng phân phối xác xuất đồng thời của X,Y:

P(X=x_i |Y=y_j )=pij và ∑(i=1)^m▒∑_(i=1)^n▒p_ij = 1

phân phối xác suất của Y

phân phối xác suất của X

X x_1 x_2 ........ xm
P p
(1^ ) p_(2^ ) ........ p(m^* )
p
(i^* )= p_(i ̇1 )+p(i ̇2 )+..+p(i ̇_n )

EX= x1 p(1^ )+x2 p(2^ )+...+xm p(m^* )

Y y_1 y_2 ........ ym
P p
(1) p_(2) ........ p(*m)
p
(*j)=p_1j+p_2j+..+p_mj

EY= y1 p(1)+y2 p(2)+..〖+y〗n p(*n)

p(Y=y_j |X=x_i )=P(X=x_i;Y=y_j )/(p(X=x_i))=pij/( p(i^* ) ) , j=(1,n) ̅

p(X=x_i |Y=y_j )=P(X=x_i;Y=y_j )/(p(Y=y_j))=pij/p(*j) , ⅈ= (1,m) ̅

X x_1 x_2 ........ x_m
P(X=x_i |Y=y_j ) p1j/p(j) p2j/p(j) ........ pmj/p(*j)

EX= 1/p_(*j) (x_1 p_1j+x_2 p_2j+..+x_m p_mj

Y y_1 y_2 ........ y_m
P(Y=y_j |X=x_i ) pi1/p(i) pi2/p(i) ........ pi3/p(i*)

EY=1/p_(i*) (y_1 p_i1+y_2 p_i2+..+x_n p_in)

p(A_1∪A_2∪…∪A_n )= p(A_1 )+ p(A_2 )+⋯p(A_n )

f(x_0 ) lớn nhất nếu X liên tục có hàm mật độ f(x)

ModX=p(X=x_0 ) lớn nhất nếu X là rời rạc

mm EY=∑_l ̇▒〖y_i p_i 〗=∑_i▒〖φ(x_i ) 〖.p〗_i 〗