Toán Đại

CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ. TẬP HỢP

CHƯƠNG II. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI



CHƯƠNG III. PHƯƠNG TRÌNH. HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1. Mệnh đề

Bài 2. Tập hợp

Bài 3. Các phép toán tập hợp

Bài 4: Các tập hợp số

Bài 1: Hàm số

Bài 2: Hàm số y=ax+b

Bài 2. Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai



Bài 3. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn


Bài 1. Đại cương về phương trình

1)Mệnh đề. Mệnh đề chứa biến

a) Mệnh đề

b)Mệnh đề chứa biến

Là câu khẳng định, có tính đúng sau

Chưa thể khẳng định tính đúng sai

Với một giá trị có thể cho ta một mệnh đề

2)Phủ định của một mệnh đề

Kí hiệu

Tính chất


Phủ định của mệnh đề A là ¯A


Nếu P đúng thì P sai

Nếu P sai thì P đúng

3)Mệnh đề kéo theo

Định nghĩa

Kí hiệu

Cách nói

Tính chất

Là mệnh đề "Nếu P thì Q"

P => Q

Cách 1

Cách 2

P là giả thiết

Q là kết luận

P là điều kiện đủ để có Q

Q là điều kiện cần để có P

Mệnh đề P => Q chỉ sai khi P đúng và Q sai

4) Mệnh đề đảo. Mệnh đề tương đương

Mệnh đề đảo

Mệnh đề Q=>P là mệnh để đảo của P=>Q

P và Q là hai mệnh đề tương đương

Định nghĩa

Kí hiệu

Nếu hai mệnh đề Q=> P và P=>Q đều đúng

P <=> Q

Kí hiệu ∀, kí hiệu ∃

Kí hiệu ∀

Kí hiệu ∃

Cách đọc :"Có ít nhất một"

Cách đọc:" Với mọi"

1) Tập hợp

2) Tập hợp con

3) Tập hợp bằng nhau

Tập hợp rỗng

Là tập hợp không có phần tử

Cách xác định

1) liệt kê các phần tử


Nêu tính đặc trưng

Kí hiệu

∈: thuộc

∉: không thuộc

Định nghĩa A là tập hợp con của B

Mọi phần tử của A đều thuộc B

Ký hiệu

A ⊂ B

Định nghĩa

A=B, nếu tất cả các phần tử của chúng như nhau

2) Phép hợp

1) Phép giao

3) Phép hiệu

  1. Phần bù

Định nghĩa

Ký hiệu

Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B.

Định nghĩa

Ký hiệu

Hợp của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B

A∩B

A ∪ B

Định nghĩa

Ký hiệu

Hiệu của tập hợp A với tập hợp B , là tập hợp gồm các phần tử thuộc A và không thuộc B.

A∖B

Định nghĩa

Ký hiệu

Nếu B⊂A thì A∖B được gọi là phần bù của B trong A.

kí hiệu là CAB.

  1. Tập hợp số hữu tỉ
  1. Tập hợp số nguyên
  1. Tập hợp số tự nhiên,

Ký hiệu

Ví dụ

kí hiệu N

N={0,1,2,3,...} .

Định nghĩa

Ký hiệu

Ví dụ

Tập hợp số nguyên gồm các phần tử là số tự nhiên và các phần tử đối của các số tự nhiên.

Z={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}.

kí hiệu là Z

Định nghĩa

Ký hiệu

Ví dụ

Mỗi số hữu tỉ có thể biểu diễn bằng một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.




kí hiệu là Q

Q = {1/2,3/4,... }

  1. Tập hợp số thực

Định nghĩa

Ký hiệu

Ví dụ

Tập hợp số thực gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ

Kí hiệu là R

R={√3,√5,... }

1) Hàm số. Tập xác định của hàm số

2) Đồ thị hàm số

3) Tính chẵn lẻ của hàm số

Định nghĩa

Giả sử có hai đại lượng biến thiên x và y, trong đó x nhận giá trị thuộc tập số D.


Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x.


Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số.


Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng của x thuộc tập số thực R thì ta có một hàm số.


I) Đồ thi hàm số

II) Độ biến thiên của hàm số

Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M(x,f(x)) trên mặt phẳng tọa độ với x thuộc D.


Ôn tập

Bảng biến thiên

Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng (a ; b) nếu


∀x1, x2 ∈ (a ; b) : x1 < x2 => f(x1) < f(x2)

Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng (a ; b) nếu :


∀x1, x2 ∈ (a ; b) : x1 < x2 => f(x1) > f(x2)

Định nghĩa

Cách nói

Ý nghĩa

Xét chiều biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng đồng biến và các khoảng nghịch biến của nó. Kết quả xét chiều biến thiên được tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên.


Để diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng (–∞ ; 0) ta vẽ mũi tên đi xuống (từ +∞ đến 0).

Để diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng (0 ; +∞) ta vẽ mũi tên đi lên (từ 0 đến +∞).


Nhìn vào bảng biến thiên, ta sơ bộ hình dung được đồ thị hàm số (đi lên trong khoảng nào, đi xuống trong khoảng nào).


  1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ

  1. Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ

Định nghĩa

Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu


∀x ∈ D thì – x ∈ D và f(–x) = – f(x)


Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu


∀x ∈ D thì – x ∈ D và f( –x) = f(x)


Định nghĩa

Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.


Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.

4) Hàm số hằng y=b

  1. Đồ thị

  1. Hàm số y = | x |
  1. Bảng biến thiên

1) Định nghĩa

Hàm số bậc nhất là hàm số có công thức:
y = a x + b trong đó a và b là các số đã cho với a ≠ 0 , x là biến số.

Định nghĩa

Hàm số bậc nhất y = a x + b ( a ≠ 0 ) có tập xác định D = R , đồng biến trên R nếu a > 0 và nghịch biến trên R nếu a < 0 .

Định nghĩa

Ta gọi đồ thị của hàm số y = a x + b là đường thẳng y = a x + b . Số a a gọi là hệ số góc của đường thẳng y = a x + b .

Định nghĩa

Khi a = 0 a=0 hàm số y = a x + b trở thành hàm hằng y = b là đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung tại điểm P ( 0 ; b ) . Ta gọi đường thẳng này là đường thẳng y = b

y = | x | = { x , nếu x ≥ 0 − x , nếu x < 0 y=|x|={x, nếu x≥0−x, nếu x<0 có tập xác định D = R , đồng biến trên khoảng ( 0 ; + ∞ ) (0;+∞) và nghịch biến trên khoảng ( − ∞ ; 0 ) (−∞;0).

Đồ thị là đường thẳng; trên nửa khoảng [ 0 ; + ∞ ) [0;+∞) trùng với đồ thị hàm số y = x và trên khoảng ( − ∞ ; 0 ) (−∞;0) trùng với đồ thị hàm số y = − x

Bài 3: Hàm số bậc hai

I) Đồ thị hàm số bậc hai

II) Chiều biến thiên của hàm số bậc hai

Nhận xét

Cách vẽ

  • Đồ thị của một hàm số y = ax2+bx+c với điều kiện a ≠ 0 nhận đường thẳng x = − b/2a làm trục đối xứng của đồ thị.
  • Đồ thị có dạng hướng lên trên hay quay xuống dưới phụ thuộc vào hệ số a. Cụ thể là:

  • Đồ thị của một hàm số bậc 2 lớp 10 có dạng là một đường cong parabol với tọa độ đỉnh I được xác định bằng công thức:
  • Tung độ − b/2a

Nếu a > 0, đồ thị hướng lên trên

Nếu a < 0, đồ thị hướng xuống dưới

Hoành độ − Δ/4a

Bước 2

Bước 3

Bước 1

Bước 4

Tìm tọa độ đỉnh I theo công thức: + Tung độ − b/2a và hoành độ −Δ/4a

Tìm trục đối xứng của đồ thị theo công thức x= − b/2a

Tìm tung độ và hoành độ của các điểm mà đồ thị hàm số bậc 2 lớp 10 giao nhau với trục tung và trục hoành. Tìm thêm một số điểm đặc biệt của đồ thị chẳng hạn như điểm đối xứng của các điểm cắt,...

Tiến hành vẽ đồ thị có dạng parabol theo các điểm đã được xác định.

  • Từ bảng biến thiên về hàm số y = ax2+bx+c với điều kiện a≠0, ta có thể rút ra một số nhận xét sau đây:
  • Với trường hợp a>0, hàm số y =ax2+bx+c với điều kiện a ≠ 0 sẽ có khoảng đồng biến là (−∞; − b2a) và khoảng nghịch biến là (− b2a;+∞)
  • Với trường hợp a< 0 thì khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y=ax2+bx+c với điều kiện a ≠ 0 sẽ ngược lại với trường hợp a>0. Cụ thể, hàm số đồng biến trên khoảng (−b2a;+∞) và nghịch biến trên khoảng (−∞;−b2a).

I. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH


  1. Phương trình chứa tham số

  1. Phương trình một ẩn

Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.


  1. Điều kiện của một phương trình

Khi giải phương trình (1), ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình

trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f(x) là vế trái, g(x) là vế phải của phương trình (1).


Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng


f(x) = g(x) (1)

Nếu có số thực x0 sao cho f(xo) = g(xo) là mệnh đề đúng thì xo được gọi là một nghiệm của phương trình (1).


3) Phương trình nhiều ẩn

  1. Phương trình bậc hai một ẩn ax2+bx+c=0(a≠0)
  1. Định lí Vi-ét

1)Giải và biện luận phương trình dạng ax+b=0

  1. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
  1. Phương trình chứa dấu căn

  1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

  1. Giải và biện luận phương trình ax+by=c (ab khác 0)
  1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
  1. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn