Series 
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Serie numérica
Convergencia
Criterio de la razón
Criterio de la raíz
Criterio de la integral
Es la sumatoria de una sucesión
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En si una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos:a1 + a2 + a3 + · · lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio:
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tipos de series
Series monótonas: son aquellas que mantienen una misma tendencia has el infinito
Crecientes: a1 < a2 < a3 <……< an (va aumentando término a término)
Series infinitas: el número de términos es ilimitado
Serie Geométrica:
Es aquella serie cuyo término de formación es
Decreciente: a1 > a2 > a3 >……> an (va disminuyendo término a término)
Propiedades
Si las series A=∑an y B=∑bn convergen a las sumas indicadas y c es una constante, entonces las series
∑an +bn = A+B y ∑can tambien convergen, como sumas.
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1.- ∑can= c∑an
2.- ∑an +bn=∑an+∑bn
3.- ∑an -bn=∑an-∑bn
En este caso la suma de la serie es el límite de la sucesión de sumas parciales
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Si la serie es convergente, entonces el limite en el infinito es igual a cero.
Si partimos de una función positiva y decreciente
Podemos definir
Y obtenemos una serie de términos positivos
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Determina la convergencia absoluta o divergencia de una serie infinita Al calcular el límite cuando n tiende a infinito de la raíz enésima del valor valor absoluto del término general de la serie se puede concluir la convergencia o divergencia de la serie
Si an>0 y
limn→∞an−−√n=L
entonces
∙ Si L<1, la serie ∑∞n=1an es convergente
∙ Si L>1, la serie ∑∞n=1an es divergente
∙ Si L=1, es un caso dudoso; sabremos que la serie ∑∞n=1an es divergente si an−−√n>1 para infinitos valores de n.
Demostración. Tenemos que an+1 an ≤ r ⇒ an+1 ≤ ran ⇒ an+2 ≤ ran+1 ≤ r × ran = r 2 an por lo que an+k ≤ r k an
N X +k n=N an = aN + aN r + ... + aN r k < aN (1 + r + r 2 + ... + r k + ...) = aN 1 − r
Supóngase que para algún r < 1 y ∀n > N an > 0 y an+1 an ≤ r entonces la serie X∞ n=1 an es convergente
Criterio de la comparación directa
Si bn converge, y an ≤ bn para todo valor entero positivo n
Entonces an converge
Si bn diverge, y an ≤ bn para todo valor entero positivo n entonces an diverge
Este criterio relaciona los conceptos de divergencia y convergencia de una integral impropia con los mismos de una serie infinita. Es para funciones continuas, no negativas y decrecientes
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Criterio de la comparación del límite
1.- si l es un a constante positiva, entonces ambas series convergen o divergen.
2.- si l=0 y bn converge, entonces an también converge
3.- si l=∞ y bn diverge, entonces an también diverge