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三角形 - Coggle Diagram
三角形
性质
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方
如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c² ，那么这个三角形是直角三角形
在平面上三角形的内角和等于180°
在平面上三角形的外角和等于360°
在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和
一个三角形的三个内角中最少有两个锐角
在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点
等底同高的三角形面积相等
三角形具有稳定性
定理
内心定理
三角形的内心即三角形内切圆的圆心
三角形的三条内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心
三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心
勾股定理
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方
毕达哥拉斯定理
射影定理
斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项
欧几里得定理
三角函数定理
正弦定理
a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D
余弦定理
cos A=(b²+c²-a²)/2bc
梅涅劳斯定理
一条截线在三角形各边上确定出的六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积
(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1
中位线定理
连接三角形的两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形有三条中位线，首尾相接时，每个小三角形面积都等于原三角形的四分之一，这四个三角形都互相全等。
中线定理
指的是三角形一条中线两侧所对的边平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的两倍的和
三角形内角和定理
三角形内角和是180°
欧拉线定理
欧拉线定理，三角形的外心、垂心和重心在一条直线上,而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离一半
四线
中线
连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线
高
从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高
角平分线
三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线
中位线
三角形的三边中任意两边中点的连线叫中位线。它平行于第三边且等于第三边的一半
全等三角形
判定
两个三角形对应的三条边相等，两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS"
两个三角形对应的两边及其夹角相等，两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS”
两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，简称“角边角”或“ASA”
两个三角形对应的两角及其一角的对边相等，两个三角形全等，简称“角角边”或“AAS”
两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边相等，两个直角三角形全等，简称“斜边、直角边”或“HL”
特点
对应角相等
对应边也相等
两个能够完全重合的三角形称为全等三角形
相似三角形
特点
相似三角形对应边成比例，对应角相等
相似三角形对应边的比叫做相似比
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）之比等于相似比
判定
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简称：三边对应成比例的两个三角形相似）
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简称：两边对应成比例且其夹角相等的两三角形相似）
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简称：两角对应相等的两三角形相似）
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似
对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形
分类
角
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
边
等腰三角形
等边三角形
不等边三角形
周长和面积
周长
C=a+b+c
面积
S=1/2ah
基本定义
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形
三角函数
三角函数给出了直角三角形中边和角的关系，可以用来解三角形