Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
FUNKCIJE - Coggle Diagram
FUNKCIJE
POJAM FUNKCIJE
Neka su X i Y neprazni skupovi. Postupak f koji svakom elementu skupa X pridružuje točno jedan element skupa Y zovemo FUNKCIJA ILI PRESLIKAVANJE (ili zakon pridruživanja) sa X u Y. I pišemo f : X --> Y
skup X naziva se DOMENA ili PODRUČJE DEFINICIJE f- je f, označavamo ju s D(f)
skup Y naziva se KODOMENA ili PODRUČJE VRIJEDNOSTI funkcije f, označavamo ju s K(f)
Za svaki x ∈ X odgovarajući pridruženi element y ∈ Y označavamo s f(x) i zovemo SLIKA ELEMENTA x ili VRIJEDNOST FUNKCIJE f U TOČKI x
Skup svih vrijednosti funkcije f, tj skup
R(f ) = {f (x) : x ∈ D(f )}
zovemo SLIKA FUNKCIJE f
-
-
-
Kažemo da je funkcija f : X --> Y BIJEKCIJA, ako je ona i injekcija i surjekcija.
KOMPOZICIJA FUNKCIJE
Neka su f : A --> B i g : C --> D dvije funkcije, takve da je R(f ) ⊆ C. Tada funkciju h : A --> D definiramo formulom:
h(x) = g(f (x)), x ∈ A
označavamo s g ◦ f
-
INVERZNA FUNKCIJA
Neka je funkcijs f : X --> Y bijekcija. Tada postoji funkcija g : Y --> X tako da vrijedi:
(g ◦ f )(x) = x, ∀x ∈ X
(f ◦ g)(y) = y, ∀y ∈ Y .
Funkciju g nazivamoo inverzna funkcija funkcije f
-
-
SVOJSTVA FUNKCIJE
PARNOST - NEPARNOST
Kažemo da je funkcija f : X → R parna, ako je
f(−x) = f (x), ∀x ∈ X
- graf parne funkcije je osno simetričan obzirom na ordinatu
Funkciia f : X → R je neparna, ako je
f(−x) = −f (x), ∀x ∈ X
- graf neparne funkcije je centralno simetričan obzirom na ishodište
MONOTONOST
Kažemo da je funkcija a f : X → R, X ⊆ R rastuća, ako vrijedi
x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2), ∀x1, x2 ∈ X
Kažemo da je funkcija f : X → R, X ⊆ R strogo rastuća, ako vrijedi
x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2), ∀x1, x2 ∈ X
Kažemo da je funkcija f : X → R, X ⊆ R padajuća, ako vrijedi
x1 < x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2), ∀x1, x2 ∈ X
Kažemo da je funkcija f : X → R, X ⊆ R strogo padajuća, ako vrijedi
x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2), ∀x1, x2 ∈ X
PERIODIČNOST
Kažemo da je funkcija f : R → R periodična, ako postoji broj T ∈ R takav da vrijedi
f (x) = f (x + T) ∀ x ∈ R.
-->T - period funkcije f, a najmanji takav broj P je osnovni (temeljni) period
-
POLINOMI
KONSTANTNA FUNKCIJA
Polinom nultog stupnja Po(x) = a0 je konstantna funkcija odnosno funkcija oblika f(x) = a0 = const.
- Graf konstantne funkcije je pravac paralelan s osi apscisa koji siječe os ordinata u točki (0, a0)
LINEARNA FUNKCIJA
Polinom prvog stupnja P1(x) = a1x + a0 je linearna funkcija odnosno funkcija oblika f(x) = kx + l
- graf linearne funkcije je pravac
- k = tan α se naziva koeficijent smjera i predstavlja tangens kuta što ga pravac zatvara s pozitivnim dijelom x osi
- ako je a > 0 funkcija raste
- ako je a < 0 funkcija pada
- l se naziva odsječak na osi y
- nultočku izračunavamo iz f(x0) = 0, x0 = -b/a
- implicitni oblik: ax + by + c = 0
- segmentni oblik: x/m + y/n = 1, pri čeju je m odsječak na osi x, a n odsječak na osi y
KVADRATNA FUNKCIJA
Polinom drugog stupnja P2(x) = a2x2(x na kvadrat) + a1x + a0, pri čemu a ne smije biti 0, je kvadratna funkcija
- graf kvadratne funkcije se naziva parabola
- ako je a > 0 parabola ima otvor prema gore, u tjemenu se postiže minimum
- ako je a < 0 parabola ima otvor prema dolje, u tjemenu se postiže maksimum
DISKRIMINANTA
- D > 0, jednadžba ima dva realna i različita rješenja, graf sijeće os x u dvije točke
- D = 0, jednadžba ima dvostruko realno rješenje, graf dotiče os x u x1
- D < 0, jednadžba ima kompleksno konjugirano rješenje, graf ne siječe os x
OSNOVNI TEOREM ALGEBRE
Svaki polinom stupnja n ∈ N ima barem jednu realnu ili kompleksnu točku.Ako je kompleksan broj z = a + bi nultočka polinoma Pn(x), tada je i njemu konjugirano kompleksan broj također nultočka tog polinomaPolinom može imati najviše onoliko različitih nultočki koliko iznosi njegov stupanj. Svaki polinom možemo rastaviti na faktore, tj. faktoriziratiBil koja dva polinoma f(x) i g(x) određuju jedinstvene polinome s(x) i r(x) takve da je f(x) = s(x) · g(x) + r(x), pri čemu je stupanj r(x) < stupnja g(x)
- polinom s(x) se zove kvocijent, a polinom r(x) ostatak dijeljenja
RACIONALNE FUNKCIJE
Funkciju koju dobijemo kao kvocijent dvaju polinoma nazivamo racionalnom funkcijom
R(x) = Pn(x) / Qm (x)
gdje je n stupanj polinoma u brojniku, a m stupanj polinoma u nazivniku
- ako je n < m, onda za racionalnu funkciju kažemo da je prava racionalna fukcija
- ako je n ≥ m, onda za racionalnu funkciju kažemo da je neprava racionalna funkcija
- ako je m = 0 racionalna fuknkcija postaje polinom racionalne funkcije je zapravo nultočka polinoma u brojniku, koja nije istovremeno i nultočka polinoma u nazivniku
- Svaka nultočka polinoma u nazivniku se naziva pol racionalne funkcije
- Domene racionalne funkcije je cijeli skup R bez polova
D(R) = R \ {x : Qm(x) = 0}
IRACIONALNE FUNKCIJE
Kada se uz operacije koje vode do racionalne funkcije dopusti još i korjenovanje, dobivamo iracionalne funkcije
- problem rješavanja domene ir. f-ja svodi se uglavnom na rješavanje algebarskih jednadžbi i nejednadžbi
- ako je korjen u ir. f-ij paran, tada veličina ispod korjena mora biti negativna
- ako je korjena u ir. f-ji neparan, tada domena ostaje cijeli skup R
EKSPONENCIJALNE FUNKCIJE
Neka je a > 0 i a nije jednak 1 zadani realni broj. Funkciju f : R --> R definiranu sa f(x) = a(na)x, ∀x ∈ R nazivamo eksponencijalnom funkcijom baze a.
- područje definicije eksp. funkcije su svi realni brojevi, tj. D(f) = R
- svojstva su ista kao i kod opće potencije
- a0 = 1, tj. graf svake eksponencijalne f-je prolazi točkom T(0,1)
- za a > 1 funkcija je strogo rastuća i ima horizontalnu asimptotu y = 0 kada x → −∞
- za a < 1 funkcija je strogo padajuća i ima horizontalnu asimptotu y = 0 kada x → +∞
LOGARITAMSKA FUNKCIJA
Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije f : R
- → R zove se logaritamska funkcija baze a koju označavamo: f(x) 0 logaX
- definirana je samo za pozitivne realne brojeve
- područje vrijednosti je cijeli skup realnih brojeva, tj. K(f) = R
- ova funkcija je bijekcija
- ako je baza a=10, takva logaritamska funkcija se naziva Briggsov ili dekadski logaritam s bazom 10
- ako je baza a = e, takva logaritamska funkcija se naziva Napierov ili prirodni logarita s bazom e
- funkcija y = ln x je inverzna funkciji y = e(na)x
- grafovi logaritamske i priradajuće eksponencijalne funkcije su međusobno simetrični s obzirom na pravac y = x
-
CIKLOMETRIJSKE FUNKCIJE
Ciklometrijske ili arkus funkcije su inverzne pripadajućim trigonometrijskim funkcijama
- trig. f-je nisu bijektivne, pa im moramo restringirati domenu da bi na tom dijelu bile inverzne te bi mogli definirati njihove inverze
-arkus sinus je inverzna funkcija te restrikcije, neparna je i strogo rastuća
-arkus kosinus je inverzna funkcija restrikcije funkcije cos x na intervalu [0, π]