3°)Transformada inversa de Laplace

Condições de existência para a
transformada inversa de Laplace

Aplicações

Soluções

Propiedades da transformada inversa de Laplace

Física

Reações químicas

Circuitos Eletricos

Metabolismo de um medicamento

Definição

RLC

Oscilador Harmonico

Mecânica

Núclear

Condução de calor

Decaimento Radioativo

Modelagem de sistemas

Processamento digital de sinais

Transformada Inversa

$L[f(t)] = F(s)$

Equações diferenciais

EDO's com coeficientes variáveis

EDO's com coeficientes constantes

Função de Heaviside

Função de Delta de Dirac

Transformada de Mellin

Fórmula da Inversa de Mellin

Teorema dos resíduos

$$L^{-1}[F(s)] = f(t)$$

Forma pura ou bilateral

$$L[f(t)] =\lim_{a\rightarrow0^{+}}\int_{a}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$$

Forma unilateral

$$B[f(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-st} dt $$

Linearidade

$$L[αf(t) + βg(t)] = L[αf(t)] + L[βg(t)]$$

Transformada de Fourier

A transformada de Fourrier continua é equivalente a avaliação bilateral da transformada de LaPlace com argumentos imaginários

$$\hat{f}(w)= \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$$

Integral da transformada de Laplace

Deslocamento no tempo

Deslocamento no tempo
(Transformada inversa)

Teorema de Convolução

$$L[f(t)*g(t)] = L[f(t)]*L[g(t)]$$

$$L[f(t)*g(t)] = F(s)*G(s)$$

Cada função f(t) tem de estar relacionada a apenas uma única transformada F(s), ou seja, f deve ser bijetora.

Satisfazendo essas condições, f é uma função seccionalmente continua e exponecialmente restrita

$$L\left[\frac{f(t)}{t}\right] =\int_{s}^{\infty}f(\hat{s})d\hat{s}$$

$$L_t[f(t)](s) = F(s), \forall s \in \mathbb{R}$$