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3°)Transformada inversa de Laplace - Coggle Diagram
3°)Transformada inversa de Laplace
Condições de existência para a
transformada inversa de Laplace
Cada função f(t) tem de estar relacionada a apenas uma única transformada F(s), ou seja, f deve ser bijetora.
Satisfazendo essas condições, f é uma função seccionalmente continua e exponecialmente restrita
$$L_t[f(t)](s) = F(s), \forall s \in \mathbb{R}$$
Aplicações
Física
Oscilador Harmonico
Mecânica
Núclear
Decaimento Radioativo
Condução de calor
Reações químicas
Circuitos Eletricos
RL
RC
RLC
Metabolismo de um medicamento
Modelagem de sistemas
Processamento digital de sinais
Soluções
Equações diferenciais
EDO's com coeficientes variáveis
EDO's com coeficientes constantes
Função de Heaviside
Função de Delta de Dirac
Transformada de Mellin
Fórmula da Inversa de Mellin
Teorema dos resíduos
Propiedades da transformada inversa de Laplace
Definição
Forma pura ou bilateral
$$L[f(t)] =\lim_{a\rightarrow0^{+}}\int_{a}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$$
Forma unilateral
$$B[f(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-st} dt $$
Transformada Inversa
$$L[f(t)] = F(s)$$
$$L^{-1}[F(s)] = f(t)$$
Linearidade
$$L[αf(t) + βg(t)] = L[αf(t)] + L[βg(t)]$$
Transformada de Fourier
A transformada de Fourrier continua é equivalente a avaliação bilateral da transformada de LaPlace com argumentos imaginários
$$\hat{f}(w)= \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$$
Integral da transformada de Laplace
$$L\left[\frac{f(t)}{t}\right] =\int_{s}^{\infty}f(\hat{s})d\hat{s}$$
Deslocamento no tempo
Deslocamento no tempo
(Transformada inversa)
Teorema de Convolução
$$L[f(t)*g(t)] = L[f(t)]*L[g(t)]$$
$$L[f(t)*g(t)] = F(s)*G(s)$$