Se obtiene utilizando el primer y el segundo polinomio de la Lagrange con nodos igualmente espaciados. esto nos lo da la regla del trapecio y la regla de simpson.

Para derivar la regla del trapecio para aproximar, utilizaremos el polinomio lineal de Lagrange:

Se llama regla del trapecio porque cuando f es una función con valores positivos, aproximamos la integral de la función por el área de un trapecio:

La regla de Simpson se obtiene al integrar el segundo polinomio de Lagrange en el intervalo bajo los nodos.
Proporciona resultados exactos al aplicarla a un polinomio cualquiera de grado tres o menor.

En casos en los que el error es mucho mayor de lo que normalmente aceptaríamos con la regla de Simpson, se selecciona un entero par "n". Se subdivide el intervalo en n subintervalos y se le aplica la regla de Simpson a cada par consecutivo de subintervalos.

El error asociado con esta aproximación es:

La regla compuesta de Simpson para n subintervalos con su termino de error es: