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GEOMETRIA E ALGEBRA - Coggle Diagram
GEOMETRIA E ALGEBRA
DIAGONALIZZAZIONE
Sia A una matrice quadrata di ordine n,
🟠A DIAGONALIZZABILE <-> A è simile ad una matrice DIAGONALE
cioè
🟠A DIAGONALIZZABILE <-> ∃ 💠una matrice D diagonale 💠una matrice C invertibile tc D=C^-1 AC
Oss. Una matrice A con autovalori NON TUTTI REALI non è DIAGONALIZZABILE
PROPRIETA'
Sia f:V->V un endomorfismo e sia A la matrice associata rispetto ad una (sola) base {v1,v2,..,vn} di V,
🔴{v1,v2,..,vn} base di AUTOVETTORI di f(di A) ->A è DIAGONALE
Se f:V->V è un endomorfismo che ammette una BASE (di V) di AUTOVETTORI allora tutte le matrice associate ad f sono DIAGONALIZZABILI
Sia f:V->V un endomorfismo su V con dimV=n, siano λ1,λ2,..,λn AUTOVALORI di f e v1,v2,..,vn AUTOVETTORI associati, si prova che: 🟣λ1,λ2,..,λn AUTOVALORI con λi≠λj per i≠j -> gli AUTOVETTORI v1,v2,..,vn solo LI
Sia assegnato un endomorfismo f:V->V con dimV=n
🟦<-> f DIAGONALIZZABILE <-> V ammette una base di n AUTOVETTORI tutte le matrici associate sono diagonalizzabili.
CRITERI DI DIAGONALIZZAZIONE
1^ CRITERIO: Sia A una matrice di ordine n e λ1,λ2,..,λn n AUTOVALORI di A λ1,λ2,..,λn AUTOVALORI con λi≠λj per i≠j -> A è DIAGONALIZZABILE
2^ CRITERIO: (include 1) Sia A una matrice di ordine n, A è DIAGONALIZZABILE <-> {λi ∈ R ∀i=1,2,..,n
{molteplicità algebrica di λi=dim Eλi e nel caso in cui A sia DIAGONALIZZABILE risulta
🟪D è uguale alla matrice degli AUTOVALORI
🟪C è la matrice le cui colonne sono ordinatamente gli AUTOVETTORI BASE di tutti gli AUTOSPAZI presi ordinatamente.
Def:
Si dice MOLTEPLICITA' ALGEBRICA di λi la molteplicità di λi come radice dell'EQUAZIONE CARATTERISTICA
Def:
Si dice MOLTEPLICITA' GEOMETRICA di λi la dimensione di Eλi
PRODOTTO SCALARE
Def. PRODOTTO SCALARE su uno SPAZIO VETTORIALE V:
Sia V uno spazio vettoriale su R, si dice PRODOTTO SCALARE su V e si indica con [ , ] oppure con • l'applicazione
🔹[ , ] : VxV->R
🔸(u,v)->[u,v] oppure 🟢(u,v)-> u•v
tc siano verificate le seguenti proprietà :
1. u•v = v•u SIMMETRIA
2.u•(v1+v2)=u•v1+u•v2 LINEARITA'
3.u•λv=λ(u•v)
Def:
Il PRODOTTO SCALARE [ , ] si dice definito POSITIVO se [u,u] ≥ 0 e [u,u]=0 <-> u=0
Def.
Se u=(x1,x2), v=(y1,y2) ∈ R^2 allora si dice PRODOTTO SCALARE di u e v e si scrive u•v il seguente numero 🟨u•v = x1y1+x2y2
Def. NORMA:
Si dice NORMA di v ∈ V e si indica con || v || il numero reale positivo così definito
🔴 || v || = √v•v =√x1^2+x2^2+...+xn^2
💠Oss. || v || si dice anche LUNGHEZZA o MODULO del vettore v.
Def. VETTORE UNITA':
Un vettore v ∈ V si dice VETTORE UNITA' se la sua norma è uguale a 1, cioè
🟠|| v ||=1
Def. A partire da un vettore v ∈ V è possibile costruire un nuovo vettore 🟡v / || v || detto il
NORMALIZZATO o VERSORE
di v ed avente norma 1.
Def.
Due vettori u,v si dicono ORTOGONALI se
🔹u•v=0
Def.
Una sua BASE {vi}i=1,2,..,n di V si dice ORTOGONALE se tutti i vettori vi sono a due a due ORTOGONALI, cioè
🟢vi•vj=0 per i≠j
Def.
Una sua BASE {vi}i=1,2,..,n di V si dice ORTONORMALE se tutti i vettori vi sono unitari a due a due ortogonali,cioè 🟧 || vi ||=1 i=1,2,..n
🟧vi•vj=0 i≠j
TEOREMA DI CARNOT
GEOMETRIA ANALITICA
Def.
Assegnate le rette r di direzione u=( l,m) e r' di direzione u'=(l',m') si dice ANGOLO tra due rette r, r' l'angolo tra i vettori u e u' , cioè
Def.
Assegnate le rette r di direzione u=(l,m,n) e r' di direzione u'=(l',m',n') si dice ANGOLO tra due rette r, r' l'angolo tra i vettori u e u', cioè
Def.
Due rette nello spazio si dicono SGHEMBE quando non sono parallele e non si incontrano mai
Def.
Si dice RETTA DI MINIMA DISTANZA di due rette sghembe r ed s l'unica retta INCIDENTE r e s e PERPENDICOLARE ad entrambe
Def.
Assegnati i piani π con vettore normale n=(a,b,c) e π' con vettore ortogonale n'(a',b',c'), sia 0=π π' (angolo diedro tra i due piani)(, "ANGOLO DIEDRO" è una regione dello spazio delimitata da due semipiani aventi la stessa retta origine)
Def.
Assegnate la retta r di direzione u=(l,m,n) e il piano π con vettore ortogonale n(a,b,c), sia r' la proiezione ortogonale di r sul piano π. Si dice ANGOLO tra r e π l'angolo tra rette r e r', cioè
CONICHE E SFERA
Def. CONICHE
Le curve del 2^ ordine (variabili di grado due) nelle variabili x,y sono chiamate CONICHE. Esse hanno equazione del tipo
🔸C: a11x^2+a22y^2+2a12xy+2a13x+2a23y+a33=0 aij∈R
C conica NON DEGENERE<-> detA ≠0 rangA=3
CLASSIFICAZIONE CONICHE
C conica DEGENERE<-> detA=0 rangA≤ 2
Def. SFERA
Si dice SFERA il luogo geometrico dei punti dello spazio equidistanti da un punto fisso detto CENTRO della sfera, la distanza fissa si chiama RAGGIO della sfera.
Def.CIRCONFERENZA
Una CIRCONFERENZA nello spazio può essere data, tra l'altro, come intersezione di una sfera con un piano.Per questo motivo le equazioni di una generica circonferenza nello spazio sono del tipo 🟦{S sfera
🟦 {π piano