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數學：空間向量 二甲14莊昕睿 指導老師：黃江全老師 - Coggle Diagram
數學：空間向量
二甲14莊昕睿
指導老師：黃江全老師
介紹
是現代數學中的一個基本概念，是線性代數研究的基本物件，是指一組向量及相關的運算即向量加法，標量乘法，以及對運算的一些限制如封閉性，結合律
定義
向量加法 +
V + V → V，把V中的兩個元素 u 和 v 映射到V中另一個元素，記作 u + v
純量乘法 ·
F × V → V，把F中的一個元素 a 和 V 中的一個元素u變為V中的另一個元素，記作 a ·u
公理 說明
向量加法的結合律 u + (v + w) = (u + v) + w
向量加法的交換律 u + v = v + u
向量加法的單位元素 存在一個叫做零向量的元素0 ∈ V，使得對任意u ∈ V都滿足u + 0 = u
向量加法的反元素 對任意v ∈ V都存在其反元素−v ∈ V使得v + (−v) = 0
純量乘法與純量的體乘法相容 a(bv) = (ab)v
純量乘法的單位元素 體F存在乘法單位元素1滿足1v = v
純量乘法對向量加法的分配律 a(u + v) = au + av
純量乘法對體加法的分配律 (a + b)v = av + bv
概念
一個實數或複數向量空間加上長度概念（就是範數）則成為賦範向量空間。
一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念則成為內積空間。
一個向量空間加上拓撲結構並滿足連續性要求（加法及標量乘法是連續映射）則成為拓撲向量空間。
一個向量空間加上雙線性算子（定義為向量乘法）則成為體代數
分類
固定向量
假設向量有確定的起點和終點[1]，當起點和終點改變後，構成的向量就不再是原來的向量。這樣的向量也被稱為固定向量
自由向量
在另一些時候，由於向量的共性都具有大小和方向，會認為向量的起點和終點並不那麼重要。兩個起點不一樣的向量，只要大小相等，方向相同，就可以稱為是同一個向量。這樣的向量被稱為自由向量