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數學空間向量 - Coggle Diagram
數學空間向量
向量空間公理及說明
向量加法的結合律
u + (v + w) = (u + v) + w
向量加法的交換律
u + v = v + u
向量加法的單位元素
存在一個叫做零向量的元素0 ∈ V，使得對任意u ∈ V都滿足u + 0 = u
向量加法的反元素
對任意v ∈ V都存在其反元素−v ∈ V使得v + (−v) = 0
純量乘法與純量的體乘法相容
a(bv) = (ab)v
純量乘法的單位元素
體F存在乘法單位元素1滿足1v = v
純量乘法對向量加法的分配律
a(u + v) = au + av
純量乘法對體加法的分配律
(a + b)v = av + bv
公理化定義
給定體F，F上的向量空間V是一個集合，其上定義了兩種二元運算：
向量加法
V + V → V，把V中的兩個元素 u 和 v 映射到V中另一個元素，記作 u + v；
純量乘法
F × V → V，把F中的一個元素 a 和 V 中的一個元素u變為V中的另一個元素，記作 a ·u。
V中的元素稱為向量，相對地，F中的元素稱為純量。
而集合V公理才構成一個向量空間（對F中的任意元素a、b以及V中的任意元素u、v、w都成立）：