Teorema del valor medio

Función Inversa

click to edit

De manera precisa el teorema enuncia que si f es una función continua en un intervalo cerrado [a,b]

y diferenciable en el intervalo abierto (a,b) entonces existe un punto c en (a,b) tal que

una propiedad de las funciones derivables en un intervalo

click to edit

la recta tangente en el punto c es paralela a la recta secante que pasa por los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) esto es

Extremos relativos

son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática

se obtienen derivando la función a estudiar e igualando la primera derivada a cero, despejamos la variable, normalmente se llama x, y en caso de que exista solución, esos valores de la x constituyen la coordenada x del punto de los extremos relativos.

son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva

demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo abierto para el cual la derivada de una función derivable se anula cuando el valor que está en los extremos del intervalo es el mismo.

click to edit

Teorema: Sea f(x) una función que

1 es continua en [a, b],

2 es derivable en (a, b),

3 y cumple que f(a) = f(b).

Entonces existe algún punto c \in (a, b) tal que f'(c) = 0.

permite afirmar si una función f(x) tiene un punto crítico en un intervalo dado

Sea I un intervalo y f : I → R una función continua en I y derivable en I(i) f es creciente si, y sólo si, f 0(x) > 0 para todo x ∈ I (ii) f es decreciente si, y sólo si, f 0(x) 6 0 para todo x ∈ I

Monotonía de una función implica describir sus intervalos de crecimiento y decrecimiento así como describir sus extremos relativos (también llamados puntos críticos) y localizarlos

Teorema Rolle

Monotonía

click to edit

La exponencial es la única función f : R → R derivable en R, que coincide con su función derivada y verifica que f(0) = 1

Sea I un intervalo y f : I → R una función continua en I y derivable en I ◦ con f 0 (x) = 0 para todo x ∈ I ◦ . Entonces f es constante.

Es evidente que esta función es derivable en R ∗ con sgn0 (x) = 0 para todo x ∈ R ∗ , es constante en R + y también en R −, intervalos en los que podemos aplicar el resultado anterior, pero no es constante en R ∗ .

En efecto, el resultado anterior nos dice que f es inyectiva luego, por ser una función continua e inyectiva en un intervalo, sabemos que J = f(I) es un intervalo y que f −1 es continua en J , con lo que basta aplicar la regla de derivación de la función inversa

Sea I un intervalo y f : I → R una función derivable en I, con f 0 (x) 6= 0 para todo x ∈ I. Entonces f es inyectiva, J = f(I) es un intervalo y f −1 es derivable en J con f −1 0 (y) = 1/ f 0 f −1 (y) para todo y ∈

Función Inversa

Sea I ⊂ R un intervalo y f : I → R una función continua en I y derivable en I ◦ , con f 0 (x) 6= 0 para todo x ∈ I ◦ . Entonces f es estrictamente monótona y como consecuencia se tiene que, o bien f 0 (x) > 0 para todo x ∈ I ◦ , o bien f 0 (x) < 0 para todo x ∈ I ◦ .

Dada una función f : I → R derivable en el intervalo I, consideremos las siguientes afirmaciones: (i) f 0 (x) 6= 0 para todo x ∈ I. (ii) f es inyectiva (equivalentemente, es estrictamente monótona). Se verifica que (i) ⇒ (ii), pero (ii) ; (i).

Sea I un intervalo y f : I → R una función derivable en I. Entonces el conjunto f 0 (I) = { f 0 (x) : x ∈ I} es un intervalo

Nótese que f puede ser constante, en cuyo caso el intervalo f 0 (I) se reduce a un punto. En general, razonando por reducción al absurdo, supongamos que existen u,v ∈ f 0 (I), con u < v , y λ ∈]u,v[ tal que λ ∈/ f 0 (I). Considerando la función g : I → R definida por g(x) = f(x)−λx para todo x ∈ I, tenemos que g es derivable en I con g 0 (x) = f 0 (x)−λ para todo x

Valor Intermedio Para Las Derivadas

Monotonía Escrita

Funciones con derivada idénticamente nula