4) Resolva esses problemas de valor inicial pela transformação de Laplace:
(a) y’ + y = exp(iwt), y(0) = 8;
(b) y’’ - y = exp(t), y(0) = 0, y’(0) = 0;
(c) y’ + y = exp(-t), y(0) = 2;
(d) y’’ + y = 6t, y(0) = 0, y’(0) = 0;
(e) y’ - iwy = δ(t), y(0)=0;
(f) my’’ + cy’ + ky = 0, y(0) = 1, y’(0) = 0.
História da Tranformada de Laplace
Laplace utilizou uma transformada semelhante em um estudo sobre a teoria da Probabilidade.
A teoria de geração de funções.
Gustav Doetsch apresentou as vantagens de utilizar a transformada de Laplace.
Antes de Laplace, vários estudiosos tentaram chegar em seu resultado, Leonhard Euler investiogou soluções de integrais peculiares, após isso, Joseph Lagrange (admirador de Euler) tentou compreender também sobre função de densidade, mas não obtiveram êxito.
Transformada de Laplace
Região de convergência
Condição de existência
Função de Heaviside
Função Delta de Dirac
Filtragem
Transformada do Delta de Dirac
Podemos aplicar a Função Delta de Dirac na Equação do Helmholtz para os cálculos de um sistema de barragem coberta por água.
Propriedades
Linearidade
Método das frações parciais para calcular transformadas inversas
Transformada de Laplace de uma derivada
Transformada de Laplace de uma integral
Deslocamento no tempo
Deslocamento na frequência
Teorema da Convolução
Transformada de Laplace de uma função de período T
Derivada da transformada de Laplace
Transformada de Fourier
Integral da transformada de Laplace
{\sqrt[ {n}]{t}}\cdot u(t)
Aplicações
Oscilador Harmônico
séries de potências
equações diferenciais
Circuitos RL e RC
Circuitos RLC de qualquer ordem
cálculo da deflexão em vigas sujeitas a cargas concentradas
Solução de Equações Diferenciais Parciais: corda semi-infinita
condução de calor
Reações Químicas
metabolismo de um medicamento
aplicação na física nuclear
Obtenção de Equações Diferenciais Ordinárias que modelam fenômenos na Física e Matemática
Movimento de um Corpo em Queda Livre
Sistema Massa Mola
Lei do Resfriamento de Newton