4) Resolva esses problemas de valor inicial pela transformação de Laplace:
(a) y’ + y = exp(iwt), y(0) = 8;
(b) y’’ - y = exp(t), y(0) = 0, y’(0) = 0;
(c) y’ + y = exp(-t), y(0) = 2;
(d) y’’ + y = 6t, y(0) = 0, y’(0) = 0;
(e) y’ - iwy = δ(t), y(0)=0;
(f) my’’ + cy’ + ky = 0, y(0) = 1, y’(0) = 0.

História da Tranformada de Laplace

Laplace utilizou uma transformada semelhante em um estudo sobre a teoria da Probabilidade.

A teoria de geração de funções.

Gustav Doetsch apresentou as vantagens de utilizar a transformada de Laplace.

Antes de Laplace, vários estudiosos tentaram chegar em seu resultado, Leonhard Euler investiogou soluções de integrais peculiares, após isso, Joseph Lagrange (admirador de Euler) tentou compreender também sobre função de densidade, mas não obtiveram êxito.

Transformada de Laplace

Região de convergência

Condição de existência

Função de Heaviside

Função Delta de Dirac

Filtragem

Transformada do Delta de Dirac

Podemos aplicar a Função Delta de Dirac na Equação do Helmholtz para os cálculos de um sistema de barragem coberta por água.

Propriedades

Linearidade

Método das frações parciais para calcular transformadas inversas

Transformada de Laplace de uma derivada

Transformada de Laplace de uma integral

Deslocamento no tempo

Deslocamento na frequência

Teorema da Convolução

Transformada de Laplace de uma função de período T

Derivada da transformada de Laplace

Transformada de Fourier

Integral da transformada de Laplace

{\sqrt[ {n}]{t}}\cdot u(t)

Aplicações

Oscilador Harmônico

séries de potências

equações diferenciais

Circuitos RL e RC

Circuitos RLC de qualquer ordem

cálculo da deflexão em vigas sujeitas a cargas concentradas

Solução de Equações Diferenciais Parciais: corda semi-infinita

condução de calor

Reações Químicas

metabolismo de um medicamento

aplicação na física nuclear

Obtenção de Equações Diferenciais Ordinárias que modelam fenômenos na Física e Matemática

Movimento de um Corpo em Queda Livre

Sistema Massa Mola

Lei do Resfriamento de Newton