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Espacio Vectorial - Coggle Diagram
Espacio Vectorial
un espacio vectorial, es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo) que satisface 8 propiedades fundamentales.
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Base
Se define como base de un espacio vectorial a un conjunto de vectores linealmente independientes tales que a partir de una combinación lineal de ellos se puede generar cualquier vector de ese espacio vectorial.
Un espacio vectorial complejo V se denomina espacio con producto interno si para cada par ordenado de vectores u y v en V, existe un número complejo único (u,v), denominado producto interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y αϵC, entonces
Propiedades
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ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.
iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)
iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)
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Base ortonormal, proceso de orto normalización de Gram-Schmidt.
es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un espacio vectorial con producto interno, otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.
A partir de una base cualquiera puede calcularse una base ortogonal utilizando el método de Gram-Schmidt, que consiste en ir modificando los vectores dados convenientemente para que cada uno sea ortogonal con los anteriores.
Un cambio de base se define como una aplicación lineal que permite relacionar entre sí las coordenadas de un espacio vectorial expresadas respecto a dos bases distintas. Esta definición depende a su vez del concepto de base en álgebra lineal, que se caracteriza como un conjunto de elementos linealmente independientes entre sí que constituyen un sistema generador del espacio vectorial al que pertenecen.
